Matematyka.pl

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ x-x^{3}+x^{5}-...=m+m^{2}+m^{3}+...}\) ma rozwiązania, jeżeli wyrażenia po obu stronach równania są szeregami geometrycznymi zbieżnymi.

\(\displaystyle{ x(1-x^{2}) + x^{5}(1-x^{2})+...=m+m^{2}...}\)

\(\displaystyle{ a _{1}=x(1-x^{2})}\)
\(\displaystyle{ q_{1}=x^{4}}\)
\(\displaystyle{ x^{4}>-1}\)
\(\displaystyle{ x^{4}<1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}= \frac{x(1-x^{2})}{1-x^{4}}}\)

\(\displaystyle{ II a_{1}=m}\)

\(\displaystyle{ q=m}\)
\(\displaystyle{ m>-1}\)
\(\displaystyle{ m<1}\)

\(\displaystyle{ S_{2}= \frac{m}{1-m}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x(1-x^{2})}{1-x^{4}}}\)=\(\displaystyle{ \frac{m}{1-m}}\)

Dobrze robię?

Dobrze, ale skróć ułamek po lewej (w mianowniku wzór na różnicę kwadratów)

\(\displaystyle{ \frac{x(1-x^{2})}{1-x^{4}}=\frac{m}{1-m}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{1+x^{2}}=\frac{m}{1-m}}\)

I jak dalej bo mi zle wychodzi?

Wymnóż na krzyż i dostaniesz równanie kwadratowe, które ma mieć jakiś pierwiastek z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\). Pamiętaj też o dziedzinie \(\displaystyle{ m}\)

Odświeżam wątek, ponieważ też sobie nie radzę z tym zadaniem.

Jakie warunki musi spełniać to równanie kwadratowe? Tylko to, że \(\displaystyle{ \Delta>0}\) ?

Delta nieujemna i oba szeregi geometryczne mają być zbieżne, więc ilorazy z przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

405856.htm