[Wielomiany] pochodna wielomianu

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: przemk20 » 14 sie 2007, o 17:25

Udowodnij, ze jesli
\(\displaystyle{ W(x) = (x-a_1)(x-a_2) ... (x-a_n)}\)
to
\(\displaystyle{ W'(x) = W(x) ( \frac{1}{x-a_1} + \frac{1}{x-a_2} + ... + \frac{1}{x-a_n}) \\}\)
dla
\(\displaystyle{ x a_1,a_2, ..., a_n \\}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: Rogal » 14 sie 2007, o 17:40

Jak się weźmie prawą stronę równości do udowodnienia, sprowadzi do wspólnego mianownika, to ów mianownik będzie równy W(x), czyli się ślicznie skróci, zaś w liczniku istotnie będzie pochodna W(x), co wynika ze wzoru na różniczkowanie iloczynu n czynników, ale wybacz, nie chce się mi tego ładnie zapisywać

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: przemk20 » 14 sie 2007, o 17:50

a zna ktoś inny sposób

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: max » 14 sie 2007, o 19:07

Można np prostą indukcją po \(\displaystyle{ n}\)... albo korzystając z wzorów Viete'a.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7094
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2625 razy
Pomógł: 687 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: mol_ksiazkowy » 14 sie 2007, o 19:16

przemk20 napisał:
zna ktoś inny sposób
hm może....
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x-a_j}=w_j(x)}\) dla j=1,...n i \(\displaystyle{ V(x)=w_1(x)+...+w_n(x)}\), dalej mamy ze \(\displaystyle{ w_i(a_i)=w^\prime(a_i)}\) oraz \(\displaystyle{ w_i(a_j)=0}\) gdy \(\displaystyle{ i j}\). tj wielom \(\displaystyle{ V- W^\prime}\) ma stopien n-1, oraz n pierw: a1, .....an, tj jet tozsamo rowny 0 . ckd

ps.
Uwaga:
\(\displaystyle{ \frac{1}{W^\prime(a_1)}+.....+ \frac{1}{W^\prime(a_n)}=0}\)
o ile \(\displaystyle{ a_i a_j}\)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[Wielomiany] pochodna wielomianu

Post autor: przemk20 » 15 sie 2007, o 13:24

To napisze swoj sposob
\(\displaystyle{ \ln | W(x) | = . . . . . . \\}\)

ODPOWIEDZ