Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
patryk1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rtggbfg

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: patryk1000 » 14 sie 2007, o 13:18

rozwiązać rownanie

\(\displaystyle{ z^6=( \overline{z})^6}\)

PawelJan: Poprawiłem temat na regulaminowy. W kolejnym takim przypadku - ostrzeżenie.
Ostatnio zmieniony 17 sie 2007, o 16:30 przez patryk1000, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: micholak » 14 sie 2007, o 13:35

Dla ulatwienia niech \(\displaystyle{ z=Ra}\) gdzie \(\displaystyle{ |a|=1}\) a R jest rzeczywiste

wowczas po pomnozeniu obustronnym przez \(\displaystyle{ z^{6}}\) mamy

\(\displaystyle{ z^{12}=|z|^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ R^{12}a^{12}=R^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^{12}=1}\) a z tym nie powinno byc problemu

A i oczywiscie przypadek z=0 rozwazyc oddzielnie

patryk1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rtggbfg

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: patryk1000 » 14 sie 2007, o 13:39

micholak pisze:Dla ulatwienia niech \(\displaystyle{ z=Ra}\) gdzie \(\displaystyle{ |a|=1}\) a R jest rzeczywiste

wowczas po pomnozeniu obustronnym przez \(\displaystyle{ z^{6}}\) mamy

\(\displaystyle{ z^{12}=|z|^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ R^{12}a^{12}=R^{12}}\)
czyli
\(\displaystyle{ a^{12}=1}\) a z tym nie powinno byc problemu

A i oczywiscie przypadek z=0 rozwazyc oddzielnie
wielkie dzieki ..ale moglbys to rozwiazac jakos tak bardziej typowo

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: micholak » 14 sie 2007, o 13:43

Typowo to bedzie pewnie
\(\displaystyle{ R^{6}(\cos6 + i \sin 6 ) = R^{6} (\cos 6 - i \sin 6 )}\)

BTW w tym co przed chwila napisalem cos mi nie pasuje ale jeszcze nie wiem co

EDIT
Sam juz nie wiem chyba jednak wszystko ok. I zdecydowanie pierwsze rozwiazani wydaje mi sie ladniejsze.
Ostatnio zmieniony 14 sie 2007, o 13:47 przez micholak, łącznie zmieniany 1 raz.

patryk1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rtggbfg

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: patryk1000 » 14 sie 2007, o 13:45

micholak pisze:Typowo to bedzie pewnie
\(\displaystyle{ R^{6}(\cos6 + i \sin 6 ) = R^{6} (\cos 6 - i \sin 6 )}\)

BTW w tym co przed chwila napisalem cos mi nie pasuje ale jeszcze nie wiem co
tak wlasnie tak jak bys mogl to ladnie wszysto rozpisac bo takiego typu zadania nie lapie nic

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: micholak » 14 sie 2007, o 14:01

To rownanie jest z wzorow de Moivre'a.
\(\displaystyle{ R^{6}}\) sie skroci bo przypadek R=0 rozwaza sie osobno

Porownuje sie czesci urojone i rzeczywiste, no i powinno wyjsc. Interesuja nas rozwiazania z zakresu \(\displaystyle{ \[0, 2 \pi \)}\)

Czesc rzeczywista nie jest zbyt ciekawa, wystarczy wiec czesc urojona
tam mamy
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = -\sin 6 \alpha}\)
stad
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = 0}\)
to znowoz nie powinno sprawiac problemow

patryk1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rtggbfg

Równanie - potęga liczby zespolonej i jej sprzężenia

Post autor: patryk1000 » 14 sie 2007, o 14:14

[quote="micholak"]To rownanie jest z wzorow de Moivre'a.
\(\displaystyle{ R^{6}}\) sie skroci bo przypadek R=0 rozwaza sie osobno

Porownuje sie czesci urojone i rzeczywiste, no i powinno wyjsc. Interesuja nas rozwiazania z zakresu \(\displaystyle{ \[0, 2 \pi \)}\)

Czesc rzeczywista nie jest zbyt ciekawa, wystarczy wiec czesc urojona
tam mamy
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = -\sin 6 \alpha}\)
stad
\(\displaystyle{ \sin 6 \alpha = 0}\)
to znowoz nie powinno sprawiac problemow[/quote]

dzięki jesteś\(\displaystyle{ wielki}\)

ODPOWIEDZ