Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: joannna » 14 sie 2007, o 13:10

Np obliczyc calke 1/2δ-ydx+xdy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonym krzywymi: y=1 y-x=1 y=0 i y=lnx skierowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: luka52 » 14 sie 2007, o 13:14

Popraw temat "czy ktos umie takie zadanka" to chyba nie najlepsze sformuowanie jeśli chodzi o temat.
Zapis jest mało czytelny - zapoznaj się z instrukcją LaTeX-a i popraw swój zapis http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: joannna » 14 sie 2007, o 13:26

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \oint}\)-ydx+xdy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonym krzywymi y=1, y-x=1, y=0 i y=lnx skierowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: luka52 » 14 sie 2007, o 13:39

Korzystając z Twierdzenia Greena, możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \oint - y \, dx + x \, dy = \frac{1}{2} \iint\limits_D ft(1 - (-1) \right) \, dx \, dy = \iint\limits_D \, dx \, dy = t\limits_0^1 \, dy t \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = \ldots}\)
Czyli po prostu pole obszaru ograniczonego przez kontur L.

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: joannna » 14 sie 2007, o 13:45

dzieki wielkie wlasnie przerabiam zadania egzaminowe wieczorkiem znowu bede robic fajnie jakbys mial chwile bo mam jeszcze pare takich co nie umiem bardzo dziekuje

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 14:19 ]
Czy mógłbys jeszcze takie cos rozwiazac bo nie mielismy takich zadan na cwiczeniach i nie mam odp
Zad1
W punkcie P(x,y) okregu x=acos t, y=asint przyłożono siłę \(\displaystyle{ \vec{F}}\)(x,y,z)=[x+y,2x] Obliczyc prace siły F po tym okręgu
Zad2
Korzystajac z tw Greena'a obliczyc
\(\displaystyle{ \oint_{C}}\) 2 \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})dx+(x+y)^{2}}\)dy
gdzie C jest trójkątem ABC o wierzchołkach A(1,1),B(2,2),C(1,3) skierowanym dodatnio
Zad 3
Wykazac ze calka \(\displaystyle{ \int_{AB}}\)x dx+ydy A(0,1) B(3,-4)
nie zalezy od drogi calkowania a nastepnie obliczyc te calke ...zadanie tego typu wogole nie wiem jak robic nie wiem jakie funkcje mam wybrac zeby przechodzily przez te pkt myslalam ze juz cos logicznego wymyslialm sama ale juz 2 razy nie zdalam z analizy i chyba jednak cos nie bardzo umiem do konca jak bedziesz mial chwile to bede wdzieczna

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: Kasiula@ » 14 sie 2007, o 15:47

ad zad3

Ogólnie dla płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{F}=[P,Q]}\). Jezeli istnieje funkcja \(\displaystyle{ U:D\rightarrow R}\)(gdzie D jest obszarem na którym okreslona jest siła F),taka że:
\(\displaystyle{ P=\frac{\partial U}{\partial x}, Q=\frac{\partial U}{\partial x}}\),
to wówczas całka z Pdx+Qdy nie zależy od drogi całkowania.

U Ciebie istnieje taka funkcja U, \(\displaystyle{ U=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})+C}\),czyli dana całka nie zalezy od drogi całkowania.

Majac dwa punkty A i B oraz wiedząc,że całka nie zależy od drogi wybieramy najprostsza drogę jaka jest prosta. Parametryzujemy tę prostą:
\(\displaystyle{ x=3t,y=1-5t}\),gdzie \(\displaystyle{ t [0,1]}\)
\(\displaystyle{ dx=3dt,dy=-5dt}\)
Podstawiamy do całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}3t 3dt + (1-5t) (-5dt)=12}\)

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:13 ]
ad zad2
wzór Greena:
\(\displaystyle{ \oint_{C}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x}=2(x+y), \frac{\partial P}{\partial y}=4y}\)
Rysując w układzie współrzednych dany trójkat otrzymujesz:
\(\displaystyle{ x [1,2], y [x,-x+4]}\)
Zatem korzystajac z wzoru Greena Twoja całka ma postać:
\(\displaystyle{ \iint_{D}(2(x+y)-4y)dxdy=\int_{1}^{2} t_{x}^{-x+4} 2(x-y)dxdy=...}\)

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:33 ]
ad zad.1
Prace obliczamy z następujacego wzoru:
\(\displaystyle{ W= t_{\Gamma} \vec{F} \circ d\vec{r}}\)

Więc u Ciebie będzie tak (ta siła F nie zależy od z):
\(\displaystyle{ W=\int_{\Gamma}[x+y,2y] \circ [dx,dy]= t_{\Gamma}(x+y)dx + 2xdy}\)
Praca odbywa sie po okręgu,więc:
\(\displaystyle{ x=a \cos t,dx=-a \sin t dt}\) oraz \(\displaystyle{ y=a \sin t,dy=a \cos t dt}\),gdzie \(\displaystyle{ t [0,2\pi]}\)
podstawiamy do naszej całki:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}(a \cos t + a \sin t)(-a \sin t dt)+2(a \cos t)(a \cos t dt)=...=a^{2}\pi}\)
O ile w rachunkach sie nie machnęłam .

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: joannna » 15 sie 2007, o 00:51

Kurcze katuje te calki i katuje mam takie zadanko
Obliczyc calke
\(\displaystyle{ \int_{L} 2xydx-x^{2} dy}\)
gdzie L jest łukiem paraboli \(\displaystyle{ 4y=x^{2}}\)
zawartym między punktami 0(0,0) i A(2,1)

Zamiast

Kod: Zaznacz cały

[tex]int_{L}[/tex] 2xydx-[tex]x^{2}[/tex] dy
pisz

Kod: Zaznacz cały

[tex]int_{L} 2xydx-x^{2} dy[/tex]
luka52[/i][/color]
Ostatnio zmieniony 15 sie 2007, o 08:27 przez joannna, łącznie zmieniany 1 raz.

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: greey10 » 15 sie 2007, o 02:17

popraw zapis bo nic nie da sie rozczytac i przydalo by sie nowy temat zalozyc ;/

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: luka52 » 15 sie 2007, o 08:32

\(\displaystyle{ \int_L 2xy dx - x^2 dy = t\limits_0^2 ft( 2x \frac{x^2}{4} - x^2 \frac{x}{2} \right) dx = t\limits_0^2 0 \, dx = 0}\)

joannna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 14 sie 2007, o 12:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: joannna » 16 sie 2007, o 23:38

Dotyczące mojego 1 postu z tego tematu i pomocy kolegi tylko mam jeszcze jakies dziwne rozw
luka52 pisze:Korzystając z Twierdzenia Greena, możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \oint - y \, dx + x \, dy = \frac{1}{2} \iint\limits_D ft(1 - (-1) \right) \, dx \, dy = \iint\limits_D \, dx \, dy = t\limits_0^1 \, dy t \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = \ldots}\)
Czyli po prostu pole obszaru ograniczonego przez kontur L.

czyli wychodzi mi taka brzydka calka

\(\displaystyle{ \(({e^y}-(y-1))y}\) czy to mozliwe?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Gausss Green czy ktos umie takie zadanka

Post autor: luka52 » 16 sie 2007, o 23:44

\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \, dy t \limits_{y-1}^{e^y} \, dx = t\limits_0^1 ft(1 + e^y - y \right) \, dy = e^y + y - \frac{y^2}{2} \Big|_0^1 = e - \frac{1}{2}}\)

BTW. Kasiula@ po co w zad3 liczyć jakąkolwiek całkę? Wystarczy U(B)-U(A) znacznie mniej roboty.

ODPOWIEDZ