Udowodnij, że...

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
Nixur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 20 lip 2006, o 20:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

Udowodnij, że...

Post autor: Nixur » 14 sie 2007, o 09:18

Udowodnij że dla każdej liczby całkowitej n liczby:
a)\(\displaystyle{ \frac{3n^{5}+5n^{3}+7n}{15}}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{n^{5}-5n^{3}+4n}{120}}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6}{24}}\)
są całkowite
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Udowodnij, że...

Post autor: jasny » 14 sie 2007, o 09:32

b)
\(\displaystyle{ =\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{120}}\)
W liczniku mamy iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 5, co najmniej jedna podzielna przez 4 a inna przez 2, i co najmniej jedna podzielna przez 3. Czyli cały licznik dzieli się przez \(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot3\cdot2=120}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że...

Post autor: Piotr Rutkowski » 14 sie 2007, o 11:10

Co do punktu a), bardzo łatwo udowodnisz, że licznik dzieli się przez piętnaście, jeśli po prostu rozbijesz to sobie na podzielność przez 3 i 5 (rozpatrz wszystkie przypadki z kongruencji: \(\displaystyle{ n \equiv 0 (mod 3)}\) \(\displaystyle{ n \equiv 1 (mod 3)}\) \(\displaystyle{ n \equiv 2 (mod 3)}\) itd, tak samo w przypadku piatki)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Udowodnij, że...

Post autor: Tristan » 14 sie 2007, o 14:37

W c) coś zjadłeś, bo już dla n=2 dana liczba nie jest całkowita.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Udowodnij, że...

Post autor: Sylwek » 14 sie 2007, o 16:06

W c) pewnie powinno być coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n}{24}=\frac{n^4+5n^2+6n^2+n^3+5n^2+6n}{24}= \\ =\frac{(n^2+n)(n^2+5n+6)}{24}=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}\)

W liczniku mamy iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 4, inna przez 2, jak również co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3. Podsumowując, cały licznik jest podzielny przez 2*3*4=24, ale w mianowniku też jest 24, więc ułamek jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n.

A pierwsze udowadnia się banalnie z indukcji (przedstawiam tylko dowód, z resztą sobie poradzisz ):
\(\displaystyle{ \frac{3(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)+5(n^3+3n^2+3n+1)+7(n+1)}{15} = \\ = \frac{3n^5+5n^3+7n}{15}+\frac{15n^4+30n^3+45n^2+30n+15}{15} = \\ = \frac{3n^5+5n^3+7n}{15}+n^4+2n^3+3n^2+2n+1}\)

ODPOWIEDZ