[Nierówności] wyszacuj

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6514
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

[Nierówności] wyszacuj

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 sie 2007, o 23:57

Podaj dowód, im bardziej elementarny, to tym lepiej, poniższej nierównośći. Zbadaj kiedy przechodzi ona w tożsamość. Na koniec spróbuj ja uogólnić- o ile jest to mozliwe dla dowolnych układów liczb rzeczywistych nieujemnych. Uwaga wszelkie metody jak zwykle bardzo mile widziane...,etc

\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\)
a,b,c >0
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

[Nierówności] wyszacuj

Post autor: Plant » 14 sie 2007, o 00:22

Z nierówności Cauchy'ego mamy: \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \frac{a+b}{2} \Leftrightarrow \frac{c}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leqslant \frac{c(a+b)}{4}}\)
analogicznie dla kolejnych składników sumy.
\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{b}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \leq \frac{ab+bc+ca}{2}}\)
Zostaje dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}}\) /*4
\(\displaystyle{ 2ab+2bc+2ca \leq 2a^2+2b^2+2c^2} \\ a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \geq 0 \\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0}\)
Co jest już oczywiste.

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 01:25 ]
Przechodzi w tożsamość, gdy a=b=c.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Nierówności] wyszacuj

Post autor: max » 14 sie 2007, o 11:47

Naturalne uogólnienie, dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}, \ n \geqslant 2, \ a_{1}, \ldots, a_{n} > 0}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n}\frac{a_{k}}{\sum_{j \{1, \ldots, n\} \setminus \{k\}} \frac{1}{a_{j}}}} qslant \frac{\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}}{n - 1}}\)
Dowód analogiczny jak powyżej.

ODPOWIEDZ