Matematyka.pl

1) Wyznacz ciąg arytmetyczny złożony z jedenastu wyrazów, których suma wynosi 385. Wiadomo też, że ostatni z nich jest o 80 % większy od pierwszego.
2) Pierwiastki równania 27 \(\displaystyle{ x^3}\)+54\(\displaystyle{ x^2}\)+ax-10=0 tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź je.
3) Trzy pierwiastki rzeczywiste wielomianu f(x) o współczynnikach całkowitych tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych pierwiastków wynosi 21 a ich iloczyn 315. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n wielomian ten przyjmuje wartośc podzielną przez 48.

Prosze o pomoc

1) Do wzoru na sumę ciągu za ostatni wyraz musisz wstawić powiększony o 80% wyraz pierwszy i go wyliczyć, potem ostatni i różnicę.

2) Ze wzorów na kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, wykorzystujących różnicę, a także z wzorów Viete'a dla czwórmianu sześciennego otrzymujesz trzy niezależne równania na dwie zmienne i Twoja w tym głowa, by je wyznaczyć .
Wzory Viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}}\)
Oznaczenia, mam nadzieję, są jasne?

3) Tutaj podobnie z definicji rekurencyjnej n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego, a także z podanej sumy i iloczynu pierwiastków, czyli wyrazów naszego ciągu powinno udać się wyliczyć, ale z tą podzielnością jest ciekawiej . Wylicz te pierwiastki, a wtedy się coś pomyśli.

Żeby wszystko było jasne.... Różnie się te wielomiany oznacza:)

W tym wypadku -> \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Dziękuję za pomoc

pierwiastki wielomianu, to 5, 7 i 9
czyli wielomian mozna zapisac w postaci:
W(x) = P(x)*(x-5)(x-7)(x-9), gdzie P(x) tez jest jakims wielomianem o wspolczynnikach calkowitych.

Przepraszam, czy potrafi ktoś udowodnić tą podzielność przez 48?