Matematyka.pl

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

W loterii 0,2 losów jest wygranych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w paczce zawierającej 1000 losów od 186 do 224 losów jest wygranych.

Z góry dziękuję za pomoc, niestety nie wiem nawet od czego zacząć.

Skorzystaj z CTG

Czy ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu tego zadania ?

Przecież wystarczy to, co napisał miodzio1988 - Centralne Twierdzenie Graniczne. Właściwie to nawet tutaj wystarczyłby jego szczególny przypadek, tj. tw. de Moivre'a-Laplace'a.
Skoro jest \(\displaystyle{ 0,2}\) losów wygranych, to możesz przyjąć, że prawdopodobieństwo, że konkretny los jest losem wygrywającym, to \(\displaystyle{ 0,2}\) - teraz przyjmijmy, że jeśli los jest wygrywającym, to przyporządkowujemy mu \(\displaystyle{ 1}\), a w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ 1000}\) niezależnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{i}, i=1...1000}\), każda o rozkładzie dwupunktowym z \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_{i}=1)=0,2=1-\mathbf{P}(X_{i}=0)}\).
Jest \(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \sum_{i=1}^{1000}X_{i} \right)=1000 \mathbf{E}X_{1}=1000\cdot 0,2=200}\) - z liniowości wartości oczekiwanej i faktu, że \(\displaystyle{ X_{i}}\) mają ten sam rozkład. Ponadto \(\displaystyle{ \mathbf{D^{2}}\left( \sum_{i=1}^{1000}X_{i} \right)=1000\cdot 0,2\cdot 0,8}\), bo wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma wariancji. Zatem:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 186 \le \sum_{i=1}^{1000}X_{i} \le 224 \right)=\mathbf{P}\left( \frac{186-200}{ \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} } \le \frac{\sum_{i=1}^{1000}(X_{i}-\mathbf{E}X_{i})}{ \sqrt{\mathbf{D^{2}} \sum_{i=1}^{1000} X_{i}} } \le \frac{224-200}{ \sqrt{1000\cdot 0,2\cdot 0,8} } \right)}\), powołaj się na CTG i zajrzyj do tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

CTG pewnie wystarczy i wierzę wam na słowo, ale niestety jeśli nie ma się podstaw teoretycznych to i tak nic z tego ;( Profesor tego nie tłumaczył, a na kolokwium ma być. W każdym razie bardzo dziękuję za dojście chociaż do tego etapu zadania. Pozdrawiam