Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kicaj1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sie 2007, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska

Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Post autor: kicaj1987 » 13 sie 2007, o 20:46

Mam pytanie, dlaczego zbiór macierzy diagonalnych z działaniem mnożenia nie jest grupą?? Wydaje mi się że wszystkie warunki są spełnione (ale najprawdopodobniej tak nie jest)
Gdyby ktoś mógłby wskazać mi powód byłbym naprawdę wdzięczny.
Ostatnio zmieniony 11 wrz 2007, o 22:50 przez kicaj1987, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Post autor: jovante » 13 sie 2007, o 21:28

Dla macierzy diagonalnych, dla których co najmniej jeden element leżący na głównej przekątnej jest równy zero nie ma macierzy odwrotnej.

kicaj1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sie 2007, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska

Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Post autor: kicaj1987 » 14 sie 2007, o 08:55

Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł. Ale tak jak przypuszczałem odpowiedz na moje pytanie nie była zbyt skomplikowana

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Post autor: Amon-Ra » 14 sie 2007, o 11:35

kicaj1987 pisze:Wielkie dzięki, chyba sam bym na to nie wpadł
A dlaczego? Z definicji grupy wynika, że musi istnieć taki element neutralny e, że dla elementu odwrotnego do każdego członka grupy a zachodzi \(\displaystyle{ a \triangle a^{-1}=e}\). Tym elementem neutralnym w przypadku mnożenia musi być, nie ma rady, macierz jednostkowa, czyli zachodzić musi \(\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=I}\). Jednakowoż definicja macierzy odwrotnej to \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA}A_{D}^{T}}\),zatem \(\displaystyle{ detA\neq0}\).
Wyznacznik macierzy diagonalnej zaś \(\displaystyle{ detA=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\) to iloczyn elementów na diagonali, jeżeli którykolwiek z nich jest równy zero, to i wyznacznik jest równy zero i nie istnieje macierz odwrotna dla takiej macierzy.

Oczywiście, jeżeli uściślimy zbiór macierzy tak, aby wyselekcjonować z niego tylko te, utworzone nad zbiorem rzeczywistym bez zera, to taka struktura już może być grupą.

kicaj1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sie 2007, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska

Macierz diagonalna i mnożenie (grupa czy nie?)

Post autor: kicaj1987 » 15 sie 2007, o 12:25

Spokojnie, wiem już dlaczego tak jest , potrzebowałem tylko podpowiedzi jovante, za która jeszcze raz dziękuję Twoja część sam sobie dopowiedziałem ale może komuś sie to przyda. Tak więc tobie też dzięki

ODPOWIEDZ