granica ciągu

[Grzegorz t]

obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{\log_{5}16}{\log_{2}3})^n.}\)

[setch]

Musisz sprawdzić czy podstawa potęgi należy do przedziału \(\displaystyle{ (0;1)}\) czy do \(\displaystyle{ (1;+\infty)}\).

[Grzegorz t]

Jak to sprawdzić

[scyth]

Skorzystaj z własności, że \(\displaystyle{ log_{a}c \frac{c}{a}}\) i równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ a=c}\).

Zatem mamy \(\displaystyle{ \frac{log_{5}16}{log_{2}3} = \frac{4log_5{2}}{log_{2}{3}} = \frac{4}{log_{2} \ 5log_{2}3}}\), ale mianownik jest mniejszy od 4, więc ciąg jest rozbieżny.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ log_{2}{5} log_{2}{3} \ q (\frac{log_{2}{3}+ log_{2}{5}}{2})^2 = (\frac{log_{2} {15}}{2})^2< (\frac{log_{2} {16}}{2})^2=4}\),