całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

całka nieoznaczona

Post autor: mat1989 » 13 sie 2007, o 09:33

mamy do policzenia taką całkę(Analiza matematyczna-Krysicki, Włodarski) :
\(\displaystyle{ I=\int(x^2+a^2)}\)x\(\displaystyle{ dx}\)
tylko zastanawia mnie sposób w jaki policzono ją przez podstawianie:
\(\displaystyle{ x^2+a^2=u\\2xdx=du\\xdx=\frac{1}{2}du\\I=\frac{1}{2}\int udu\\I=\frac{1}{4}u^2+C'\\I=\frac{1}{4}(x^2+a^2)^2+C'}\)
chodzi mi o to co się stało z tym czerwonym x?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka nieoznaczona

Post autor: scyth » 13 sie 2007, o 09:40

\(\displaystyle{ (x^2 + a^2)}\) zmieniło się na \(\displaystyle{ u}\)
\(\displaystyle{ xdx}\) zmieniło się na \(\displaystyle{ \frac{1}{2}du}\)

Czyli \(\displaystyle{ (x^2+a^2) \ xdx = u \ \frac{1}{2}du}\).

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

całka nieoznaczona

Post autor: mat1989 » 13 sie 2007, o 09:50

ok, dzięki.
a mógłby jeszcze ktoś pokazać jak obliczyć
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{x^2+a^2}}\)?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka nieoznaczona

Post autor: scyth » 13 sie 2007, o 10:00

tak samo stosujesz podstawienie jak w poprzednim przykładzie i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int\frac{xdx}{x^2+a^2}=\frac{1}{2} t \frac{du}{u}= \frac{1}{2} ln|u|+C=\frac{1}{2} ln(x^2+a^2)+C}\)

ODPOWIEDZ