ułamki okresowe

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ułamki okresowe

Post autor: mat1989 » 12 sie 2007, o 22:19

Ostatnio zauważyłem taką pewną prawidłowość, że aby zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły wystarczy podzielić liczbę przez tyle dziewiątek z ilu składa się ta liczba.
przykładowo:
0,(3)=3/9=1/3
0,(27)=27/99
0,(123)=123/999
da się tą metodę w jakiś sposób udowodnić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

ułamki okresowe

Post autor: bullay » 12 sie 2007, o 22:25

Podpowiedz:
Zamienj ulamek okresowy na szereg geometryczny i policz jego sume.

mat1989
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3393
Rejestracja: 29 sty 2006, o 14:15
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 466 razy
Pomógł: 197 razy

ułamki okresowe

Post autor: mat1989 » 12 sie 2007, o 22:27

ok, dla konkretnego przypadku to sobie umiem policzyć.
Ale udowodnienie powinno być dla każdego przypadku.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

ułamki okresowe

Post autor: luka52 » 12 sie 2007, o 22:29

Wydaję mi się, że to bezpośrednio wynika z tego, że:
\(\displaystyle{ x = 0.3333\ldots\\
10x = 3.333\ldots\\
9x = 3\\
x = \frac{3}{9}}\)

I tak samo jak pownarza się n cyfr, jednak wtedy mnożymy (x) przez \(\displaystyle{ 10^n}\) i potem zawsze odejmujemy od tego 1. Czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\overbrace{2563 \ldots 33}^{n \, \, cyfr}}{10^n - 1}}\)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

ułamki okresowe

Post autor: bullay » 13 sie 2007, o 10:09

Chodzilo mi o takie cos:
\(\displaystyle{ 0,(ab \ldots c)=\frac{\overbrace{0,ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{1-10^{-n}}=\frac{\overbrace{ab \ldots c}^{n \, \, cyfr}}{\underbrace{99\ldots 9}_{n \, \, cyfr}}}\)

ODPOWIEDZ