trudne r-nie różniczkowe

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
TokaKoka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 31 sty 2006, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z okolicy ;d
Podziękował: 14 razy

trudne r-nie różniczkowe

Post autor: TokaKoka » 12 sie 2007, o 20:44

chciałbym porownac moje rozwiazanie z rozwiazaniem drugiej osoby nastepujacego rownania rozniczkowego:

\(\displaystyle{ a\cdot y''(x)+b\cdot y(x)=c\cdot e^{-d\cdot x}}\)

gdzie: a, b, c, d - podane stałe, e - liczba eulera.

Dodtakowo są znane warunki brzegowe:
dla x=0: y(x)=0
dla x=0: y'(x)=0

z gory bardzo dziekuje za zaintereswanie
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

trudne r-nie różniczkowe

Post autor: luka52 » 12 sie 2007, o 21:15

Popraw temat - "trudne równanie" niewiele mówi i jest dość subiektywnym określeniem.

Układamy równanie charakterystyczne równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ a r^2 + b = 0 r^2 = - \frac{b}{a}}\)
I tutaj w zależności od tego czy lewa strona powyższego równania jest większa, równa bądź też mniejsza od zera możliwe są różne opcje. Jednak założę tą że ta trzecia możliwość mamiejsce, wtedy rozwiązaniem równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = A \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + B \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}}}\)
(--edit-- choć wydaje mi się że dla dowolnych a i b powyższy wzór będzie prawdziwy --/edit--)
Następnie należy wyznaczyć całkę szczególną naszego równania. Najlepiej do tego celu zastosować metodę uzmienniania zmiennych.
Nie będę tutaj pisał wszystkich obliczeń, gdyż jest to trochę roboty. Jednak z moich wstępnych obliczeń wychodzi, że
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)
Czyli ostatecznie, uwzględniając już warunki początkowe:
\(\displaystyle{ y(x) = - \frac{c}{b + ad^2} \cos \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{cd \sqrt{a}}{(b+ad^2) \sqrt{b}} \sin \frac{x \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{c e^{- dx}}{b + ad^2}}\)

TokaKoka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 31 sty 2006, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z okolicy ;d
Podziękował: 14 razy

trudne r-nie różniczkowe

Post autor: TokaKoka » 21 sie 2007, o 23:15

Dzięki. Wyszło mi to samo więc chyba dobrze zrobiliśmy .

ODPOWIEDZ