Obliczyć pole powierzchni sfery

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Obliczyć pole powierzchni sfery

Post autor: zielony789 » 11 sie 2007, o 19:18

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4}\) dla \(\displaystyle{ z \geqslant \sqrt{3}}\)

jezeli ktoś bedzie w stanie rozpisać to krok po kroku bedzie wdzieczny
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć pole powierzchni sfery

Post autor: luka52 » 11 sie 2007, o 19:51

Sferę możemy rozważać jako wiele nieskończenie cienkich pierścieni (okręgów) o odpowiednich promieniach.
Jeżli te pierścienie będą ułożone równolegle do płaszczyzny OXY, wtedy (zakładając, że z=const) każdy taki okrąg opisany jest równaniem
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 4 - z^2}\)
Obwód takiego okręgu to oczywiście \(\displaystyle{ 2 \pi \sqrt{4 - z^2}}\). Aby wyliczyć pole części sfery wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\sqrt{3}}^2 2 \pi \sqrt{4 - z^2} \, \mbox{d}z}\)
Czyli sumujemy "grubości" ( \(\displaystyle{ 2 \pi \sqrt{4 - z^2} \, \mbox{d}z}\) ) kolejnych pierścieni.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Obliczyć pole powierzchni sfery

Post autor: Amon-Ra » 11 sie 2007, o 20:09

Alternatywnie \(\displaystyle{ S=\iint_S dS=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}}\right)^2}dxdy}\).

ODPOWIEDZ