Zbieżnośc szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Zbieżnośc szeregu

Post autor: sq » 11 sie 2007, o 14:09

Zbadać czy poniższe szeregi są bezwzględnie zbieżne, warunkowo zbieżne, czy rozbieżne.

Kombinuje i mi nie wychodzi.
1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+1}}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Zbieżnośc szeregu

Post autor: mol_ksiazkowy » 11 sie 2007, o 14:42

oba są warunkowwo zbiezne (kryt Leibnitza), ale nie sa bezwzglednie....

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Zbieżnośc szeregu

Post autor: sq » 11 sie 2007, o 14:51

Tak, tylko jak to zrobić?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Zbieżnośc szeregu

Post autor: mol_ksiazkowy » 12 sie 2007, o 02:41

sq napisał
Kombinuje i mi nie wychodzi.
1)
kryt Leibniza =jest tu bardzo przydatne, i mowi ono, ze szereg s , zapisany ponizej jest zbiezny o ile ciag an jest o wyrazach dodatnich, malejacy i zbiezny do zera...., tj
\(\displaystyle{ s =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}a_n}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}\sqrt{n}}{n+1}}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)
tak wiec ad 1 ciag \(\displaystyle{ a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}}\) a w ad2 \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}\) istotnie maja te wlasnoci, z koeji bezwzglednej zbieznosci brak, bo

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{n+1}= +\infty}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=+\infty}\)

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Zbieżnośc szeregu

Post autor: sq » 12 sie 2007, o 12:01

Bardzo dziękuję za odpowiedź, ale nie do końca rozumiem i jeżeli mogę to proszę o parę słów wyjaśnienia.

Według kryterium Leibniza obydwa szeregi naprzemienne są zbieżne ponieważ 1) ciag an jest nierosnący i 2) granica ciagu an zmierza do zera.

Chcąc sprawdzić czy szereg jest bezwzględnie zbieżny należy sprawdzić czy szereg utworzony z bezwględnych wartości wyrazów danego szeregu jest zbieżny. I tak, w pierwszym przypadku jest to
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}}}\)
a w drugim
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)

Nie wiem jak pokazać i obliczyć granicę tych szeregów żeby równała się nieskończoność?

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Zbieżnośc szeregu

Post autor: przemk20 » 12 sie 2007, o 12:06


\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} = \sqrt{n+1} - \sqrt n}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Zbieżnośc szeregu

Post autor: mol_ksiazkowy » 12 sie 2007, o 12:47

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{n+1} q \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt{n}}{2n} = \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{2\sqrt{n}} = +\infty}\)

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Zbieżnośc szeregu

Post autor: sq » 12 sie 2007, o 22:23

Tak jest! Dziękuję bardzo!

ODPOWIEDZ