Przebieg zmienności

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
lalus_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Klęczany Górne
Podziękował: 7 razy

Przebieg zmienności

Post autor: lalus_87 » 10 sie 2007, o 23:28

1. W daną kulę o promieniu r wpisano prawidłowy ostrosłup czworokątny. Zbadać przebieg zmienności objętości tego ostrosłupa.
2. Zbadać przebieg zmienności powierzchni bocznej walca wpisanego w kulę o promieniu r.
Byłbym wdzięczny za rozpisanie tych zadań bardzo łopatologicznie, skąd się dany wzór wziął.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Przebieg zmienności

Post autor: Tristan » 11 sie 2007, o 00:36

Ad 2:
Naszkicuj sobie przekrój kuli, w którą wpisano walec. Niech środkiem kuli będzie punkt O. Dany przekrój zawiera prostokąt. Niech będzie to prostokąt ABCD. Rozważmy trójkąt ABO. Z punktu O pada wysokość na odcinek AB w punkcie E. Mamy więc, że \(\displaystyle{ |AO|=r}\). Jeśli oznaczymy promień walca przez R i wysokość przez h, to \(\displaystyle{ |AE|=R, |OE|= \frac{h}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h (0; 2r)}\). Przy tych oznaczeniach pole powierzchni bocznej walca to \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi Rh}\), gdzie z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2}}\). Czyli \(\displaystyle{ P_{b}= 2 \pi \frac{1}{2} \sqrt{4r^2 - h^2} = \pi \sqrt{ 4f^2 h^2 - h^4 }}\). Myślę, że nie będziesz miał problemu ze zbadaniem przebiegu tej funkcji. Dodam, że pochodną powienieś otrzymać taką \(\displaystyle{ P_{b}'= \frac{ 2 \pi (2r^2 - h^2) }{ \sqrt{ 4r^2 - h^2} }}\).

ODPOWIEDZ