Funkcja

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Funkcja

Post autor: bullay » 10 sie 2007, o 11:05

\(\displaystyle{ f. Z^+\rightarrow Z^+}\)
Dla \(\displaystyle{ n>1}\) \(\displaystyle{ f(n)=f(f(n+1))+f(f(n-1))}\)
Czy takie f istnieje?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Funkcja

Post autor: scyth » 10 sie 2007, o 15:11

Nie, ale to było trudne.

1.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ m}\) jest najmniejszą wartością osiąganą przez \(\displaystyle{ f}\), czyli \(\displaystyle{ f(a)=m}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\). Niech \(\displaystyle{ a > 1}\) Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ m=f(a)=f(f(a+1))+f(f(a-1)) > f(f(a+1))}\) - znaleźlismy argument dla którego funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartość mniejszą niż minimum, sprzeczność.

2.
W takim razie \(\displaystyle{ a=1, \ f(a)=m}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może byc funkcją stałą, zatem niech \(\displaystyle{ n}\) będzie "kolejną minimalną" wartością \(\displaystyle{ f}\) osiąganą w punkcie \(\displaystyle{ b}\). No i liczymy:
\(\displaystyle{ n=f(b)=f(f(b+1))+f(f(b-1)) > f(f(b+1))}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ f(f(b+1))=m}\), czyli \(\displaystyle{ f(b+1)=a=1}\). Ale \(\displaystyle{ f(b+1)=f(f(b+2))+f(f(b)) 2}\) (bo minimum funkcji wynosi 1), sprzeczność.

No i tyle po paru godzinach. Zastanawiam się czy można to jakoś uprościć, ale na razie mam dość. Pozdrawiam

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6483
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Funkcja

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 sie 2007, o 16:02

scyth napisał:
No i tyle po paru godzinach. Zastanawiam się czy można to jakoś uprościć, ale na razie mam dość. Pozdrawiam
dowód jest jak sadze, ładny i poprawny. Uproscic mozna chybatak, ze punkt 2, skasowac,...no bo z jedynki wystarczy pociagnać w takim kierunku , skoro f(n) > f(f(n+1)), o ile tylko n>1, a skoro tak to startujac z dowolnego n róznego od jedynki mamy ciąg nieskonczony i malejacy silnie, sprezecznosc: :arrow: a to temu ze zawsze jak ustaliles w ad 1 f(m+1)>1 przy dowolnym m- tj
\(\displaystyle{ f(n) > f(f(n+1)) > f(f(f(n+1)+1)) >}\).....

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Funkcja

Post autor: bullay » 10 sie 2007, o 18:18

Dzieki scyth za rozwiazanie. Kiedys robilismy te zadanie na kolku, ale dzisiaj nie moglem sobie przypomniec jak je zrobic.

ODPOWIEDZ