Matematyka.pl

Witam,

bardzo proszę o naprowadzenie na rozwiązanie:

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ cos4x=sin3x}\)

Poniżej moja wersja rozwiązania:

\(\displaystyle{ cos^22x - sin^22x=sinx(cos^2x - sin^2x)+2sinxcos^2x

cos^22x-sin^2x=sinxcos^2x-sin^3x+2sinxcos^2x

1-2sin^22x=3sinx-4sin^3x

1-8sin^2x(1-sin^2x)=3sinx-4sin^3x

8sin^4x+4sin^3x-8sin^2x-3sinx+1=0

sinx=t

8t^4+4t^3-8t^2-3t+1=0}\)

W tym miejscu stanąłem. Nie wiem, jak dokończyć rozwiązanie.
Może ktoś wpadnie na lepszy pomysł rozwiązania tego równania.

Dodam, że zadanie pochodzi z kursu korespondencyjnego Politechniki Wrocławskiej, Październik 1999r.

Dziękuję za wszelką pomoc.
Pozdrawiam serdecznie.

A sprawdziłeś czy ten wielomian ma jakieś pierwiastki całkowite - tj. 1 i -1

\(\displaystyle{ (cos 2x)^2 - (sin 2x)^2= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
(1-2sin^2x)^2 - (2sin x cosx )^2= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
(1-2sin^2x)^2 - 4sin^2 x(1-sin^2x)= sinx(1-2sin^2x)+2sinx(1-sin^2x) \\
sinx=t\\
(1-2t^2)^2 - 4t^2(1-t^2)= t(1-2t^2)+2t(1-t^2) \\}\)

Teraz powinno pojsc latwiej POZDRO

A może tak:
\(\displaystyle{ \cos 4x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - 4x \right) = \sin 3x \ldots}\)

Inne rozwiazanie:
\(\displaystyle{ sinx=cos(x+\frac{\pi}{2})}\)
A wiec \(\displaystyle{ sin3x=cos4x}\) wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ 3x+2\pi k =4x+\frac{\pi}2+2\pi n=}\)
\(\displaystyle{ x=2\pi k-2\pi n-\frac{\pi}{2}=2\pi(k-n)-\frac{\pi}{2}}\)
zalozmy, ze k-n=p, wtedy rozwiazaniem bedzie:
\(\displaystyle{ x=2\pi m-\frac{\pi}{2}}\)