Zadania z działu "Wyrażenia wymierne"

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mirabelka12345
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 21 mar 2007, o 17:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Niebo
Podziękował: 14 razy

Zadania z działu "Wyrażenia wymierne"

Post autor: mirabelka12345 » 9 sie 2007, o 17:48

1. Określ dziedzinę wyrażenia, a następnie wykonaj działania i przedstaw wynik w jak najprostszej postaci:

a) \(\displaystyle{ \frac{x}{x-5}}\)+\(\displaystyle{ \frac{2x-25}{x^{2}-7x+10}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{(x-2)^{3}}{8-x^{3}}}\):\(\displaystyle{ \frac{4-x^{2}}{x^{2}+2x+4}}\)

2. Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+3}}\)-\(\displaystyle{ \frac{18}{x^{2}-9}}\)=0


3.Rozwiąż nierówności:

a) \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2-x}}\)>\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{10-x}{4x^{2}-25}}\)\(\displaystyle{ \leqslant 0}\)


To są te zadania... Bardzo proszę o ich zrobienie krok po kroku wytłumaczenie "jak dla dziecka" Bardzo była bym wdzięczna.... Pozdrawiam...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadania z działu "Wyrażenia wymierne"

Post autor: Sylwek » 9 sie 2007, o 18:18

Zadanie 1, a):
\(\displaystyle{ \mathbb{D}:x-5 \neq 0 \wedge \ x^2-7x+10 \neq 0 \\ x-5 \neq 0 \wedge (x-2)(x-5) \neq 0 \\ x \neq 5 \wedge x \neq 2 \\ \mathbb{D}: x \in \mathbb{R} -\lbrace 2, 5 \rbrace \\ \frac{x}{x-5}+\frac{2x-25}{x^{2}-7x+10}=\frac{x}{x-5}+\frac{2x-25}{(x-2)(x-5)}= \frac{x(x-2)}{(x-2)(x-5)}+\frac{2x-25}{(x-2)(x-5)} \\ =\frac{x^2-2x+2x-25}{(x-2)(x-5)}=\frac{x^2-25}{(x-2)(x-5)}=\frac{(x+5)(x-5)}{(x-2)(x-5)}=\frac{x+5}{x-2}}\)
Podpunkt b) zrób analogicznie do a).

Zadanie 2:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}: x+3 \neq 0 \wedge x^2-9=(x-3)(x+3) \neq 0 \\ x+3 \neq 0 \wedge x-3 \neq 0 \\ x \neq -3 \wedge x \neq 3 \\ \mathbb{D}: x \in \mathbb{R}-\lbrace -3,3 \rbrace \\ \frac{x}{x+3}-\frac{18}{x^2-9}=0 \\ \frac{x}{x+3}-\frac{18}{(x-3)(x+3)}=0 \ \hbox{/} \cdot (x-3)(x+3) \\ x(x-3)-18=0 \\ x^2-3x-18=0 \\ \Delta=(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-18)=9+72=81 \\ \sqrt{\Delta}=9 \\ x_{1}=\frac{3-9}{2}=-3 \\ x_{2}=\frac{3+9}{2}=6 \\ x \in \lbrace -3, 6 \rbrace \wedge x \in \mathbb{D} \Rightarrow x \in \lbrace 6 \rbrace}\)

Zadanie 3, a):
\(\displaystyle{ \mathbb{D}:2-x \neq 0 \Rightarrow \mathbb{D}: x \in \mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace \\ \frac{x-3}{2-x} > \frac{1}{2} \ \ \ \hbox{/} \cdot 2 (2-x)^2 \\ 2(x-3)(2-x)>(2-x)^2 \\ 2(2x-x^2-6+3x)>4-4x+x^2 \\ -2x^2+10x-12>4-4x+x^2 \\ -2x^2-x^2+10x+4x-12-4>0 \\ -3x^2+14x-16>0 \\ \Delta=14^2-4 (-3) (-16)=196-192=4 \\ \sqrt{\Delta}=2 \\ x_{1}=\frac{-14-2}{-6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3} \\ x_{2}=\frac{-14+2}{-6}=\frac{12}{6}=2}\)

Ramiona paraboli idą w dół (współczynnik przy x^2 jest ujemny), więc nasz szukany przedział to (nie zapominając o dziedzinie): \(\displaystyle{ x\in (2,2\frac{2}{3})}\)
Ostatnio zmieniony 9 sie 2007, o 18:39 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Zadania z działu "Wyrażenia wymierne"

Post autor: soku11 » 9 sie 2007, o 18:32

3.
a)
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{x-2} (2x-5)^{2}(2x+5)^{2}\\
(x-10)(2x-5)(2x+5)\geqslant 0\\
x\in(-\frac{5}{2};\frac{5}{2})\cup}\)

ODPOWIEDZ