Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 8 sie 2007, o 21:45

Mamy: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx}\) trójmian sprowadzam do postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} t \frac{1}{ \sqrt{( \frac{x+1}{2})^2+1}}dx}\) podstawiam: \(\displaystyle{ y=\frac{x+1}{2}}\) a następnie: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{cos(t)}}\) z czego mam: \(\displaystyle{ dy=\frac{1}{cos^2(t)}dt}\) co doprowadza całkę pierwotną do postaci: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{cos(t)}dt}\) po obliczeniach dochodzę do wyniku: \(\displaystyle{ ln(tg(\frac{\pi}{4}+\frac{t}{2}))}\) który można przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ ln(\frac{1+tg(\frac{t}{2})}{1-tg(\frac{t}{2})})}\) przy pomocy wzoru na tangens sumy kątów. Problemem jest powrót do zmiennej x ??: Myślę, że trzeba by uzależnić \(\displaystyle{ tg(\frac{t}{2}) \ od \ tg(t)}\) tylko jak?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: luka52 » 8 sie 2007, o 22:04

Źle obliczyłeś dy.
Do tego typu całek stosuje się podstawienie Eulera lub podstawienie hiberboliczne - cosh lub sinh.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: soku11 » 8 sie 2007, o 22:04

Pokombinuj moze tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx=
t \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+4}}dx\\
(x+1)^{2}=4t\\
dx=\frac{1}{\sqrt{t}} dt\\
t \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+4}}dx=
t \frac{1}{\sqrt{4t+4}}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt=
\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{t+1}\cdot \sqrt{t}}dt=...}\)


Moze cos z tego wyjdzie

BTW. Rzeczywiscie dobrze przeksztalciles POZDRO
Ostatnio zmieniony 8 sie 2007, o 22:45 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 8 sie 2007, o 22:38

dobrze zamieniłem, soku11 nie z potęgowałeś mianownika, spróbuję twoim sposobem ale najpierw muszę się uporać ze swoim
podstawieniem Eulera już zrobiłem, ale ja lubię sobie życie utrudniać
chyba jednak mam dobre dy, luka52 bo \(\displaystyle{ tg'(t)=(\frac{sin(t)}{cos(t)})'=\frac{cos^2(t)+sin^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}}\)
o podstawieniach hiperbolicznych jeszcze nie słyszałem, bo dopiero zaczynam walczyć z rachunkiem całkowym

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: przemk20 » 8 sie 2007, o 22:45


\(\displaystyle{ \tan t = \frac{x+1}{2}, \ \ dx = \frac{2dt}{\cos^2 t} \\
t \frac{dt}{\cos t} = t \frac{\cos t \ dt}{1 - \sin^2 t} \\
\sin t = u, \ \ dt \cos t = du \\
t \frac{dt}{1-t^2} = .... \\}\)


luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: luka52 » 8 sie 2007, o 22:58

sparrow_88, jak dobre? masz \(\displaystyle{ y = \frac{1}{\cos t}}\) a pochodna z tego to \(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\cos^2 t}}\)

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 8 sie 2007, o 22:59

spoko, załatwiłeś to jednym podstawieniem no i fajowe przekształcenie całeczki, dxianks mam następny sposób rozwiązania ale nie dam za wygraną, wiem, że mój wynik jest poprawny, sprawdziłem na http://integrals.wolfram.com/index.jsp tam jest trochę inne rozwiązanie ale po paru przekształceniach wychodzi to samo
mnie jednak chodzi o powrót do zmiennej x co prawda znalazłem już pewną zależność między \(\displaystyle{ tg(t) \ a \ tg(\frac{t}{2})}\) ale to do czego doszedłem jest dość mało prawdopodobne, dlatego mam nadzieje, że ktoś wpadnie na pomysł na przekształcenia powrotne

sorki luka52, źle przepisałem, w moich notatkach trochę trudno się połapać mam podstawienie y=tg(t) znaczy się to drugie podstawienie

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: luka52 » 8 sie 2007, o 23:03

\(\displaystyle{ \tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}}\)
O coś takiego chodzi?

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

Post autor: sparrow_88 » 8 sie 2007, o 23:09

niby tak, ale z tego trzeba by znaleźć \(\displaystyle{ tg(\frac{t}{2})}\) a to właśnie mi przysparza problemów, coś już mam a jeśli i Ty będziesz miał to samo to będzę miał pewność że ja mam poprawnie

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:39 ]
jednak te moje przekształcenia powrotne są nic nie warte znalazłem błąd, nic nie mam. Moglibyście spróbować znaleść rozwiązanie po zmiennej x moim sposobem?? Przypominam, że w pierwszym poście tego tematu mam podstawienie \(\displaystyle{ tg(t)}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{cos(t)}}\)

ODPOWIEDZ