Całka z pierwiastka trójmianu kwadratowego

[sparrow_88]

Mamy: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx}\) trójmian sprowadzam do postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} t \frac{1}{ \sqrt{( \frac{x+1}{2})^2+1}}dx}\) podstawiam: \(\displaystyle{ y=\frac{x+1}{2}}\) a następnie: \(\displaystyle{ y=\frac{1}{cos(t)}}\) z czego mam: \(\displaystyle{ dy=\frac{1}{cos^2(t)}dt}\) co doprowadza całkę pierwotną do postaci: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{cos(t)}dt}\) po obliczeniach dochodzę do wyniku: \(\displaystyle{ ln(tg(\frac{\pi}{4}+\frac{t}{2}))}\) który można przedstawić w postaci: \(\displaystyle{ ln(\frac{1+tg(\frac{t}{2})}{1-tg(\frac{t}{2})})}\) przy pomocy wzoru na tangens sumy kątów. Problemem jest powrót do zmiennej x ??: Myślę, że trzeba by uzależnić \(\displaystyle{ tg(\frac{t}{2}) \ od \ tg(t)}\) tylko jak?

[luka52]

Źle obliczyłeś dy.
Do tego typu całek stosuje się podstawienie Eulera lub podstawienie hiberboliczne - cosh lub sinh.

[soku11]

Pokombinuj moze tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx=
t \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+4}}dx\\
(x+1)^{2}=4t\\
dx=\frac{1}{\sqrt{t}} dt\\
t \frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}+4}}dx=
t \frac{1}{\sqrt{4t+4}}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt=
\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{t+1}\cdot \sqrt{t}}dt=...}\)

Moze cos z tego wyjdzie

BTW. Rzeczywiscie dobrze przeksztalciles POZDRO

[sparrow_88]

dobrze zamieniłem, soku11 nie z potęgowałeś mianownika, spróbuję twoim sposobem ale najpierw muszę się uporać ze swoim
podstawieniem Eulera już zrobiłem, ale ja lubię sobie życie utrudniać
chyba jednak mam dobre dy, luka52 bo \(\displaystyle{ tg'(t)=(\frac{sin(t)}{cos(t)})'=\frac{cos^2(t)+sin^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}}\)
o podstawieniach hiperbolicznych jeszcze nie słyszałem, bo dopiero zaczynam walczyć z rachunkiem całkowym

[przemk20]

\(\displaystyle{ \tan t = \frac{x+1}{2}, \ \ dx = \frac{2dt}{\cos^2 t} \\
t \frac{dt}{\cos t} = t \frac{\cos t \ dt}{1 - \sin^2 t} \\
\sin t = u, \ \ dt \cos t = du \\
t \frac{dt}{1-t^2} = .... \\}\)

[luka52]

sparrow_88, jak dobre? masz \(\displaystyle{ y = \frac{1}{\cos t}}\) a pochodna z tego to \(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\cos^2 t}}\)

[sparrow_88]

spoko, załatwiłeś to jednym podstawieniem no i fajowe przekształcenie całeczki, dxianks mam następny sposób rozwiązania ale nie dam za wygraną, wiem, że mój wynik jest poprawny, sprawdziłem na tam jest trochę inne rozwiązanie ale po paru przekształceniach wychodzi to samo
mnie jednak chodzi o powrót do zmiennej x co prawda znalazłem już pewną zależność między \(\displaystyle{ tg(t) \ a \ tg(\frac{t}{2})}\) ale to do czego doszedłem jest dość mało prawdopodobne, dlatego mam nadzieje, że ktoś wpadnie na pomysł na przekształcenia powrotne

sorki luka52, źle przepisałem, w moich notatkach trochę trudno się połapać mam podstawienie y=tg(t) znaczy się to drugie podstawienie

[luka52]

\(\displaystyle{ \tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}}\)
O coś takiego chodzi?

[sparrow_88]

niby tak, ale z tego trzeba by znaleźć \(\displaystyle{ tg(\frac{t}{2})}\) a to właśnie mi przysparza problemów, coś już mam a jeśli i Ty będziesz miał to samo to będzę miał pewność że ja mam poprawnie

[ Dodano: 14 Sierpnia 2007, 16:39 ]
jednak te moje przekształcenia powrotne są nic nie warte znalazłem błąd, nic nie mam. Moglibyście spróbować znaleść rozwiązanie po zmiennej x moim sposobem?? Przypominam, że w pierwszym poście tego tematu mam podstawienie \(\displaystyle{ tg(t)}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{cos(t)}}\)