Całka podwójna w trzecim wymiarze
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 2 razy
Całka podwójna w trzecim wymiarze
Oblicz pole powierzchniczęśći paraboloidy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2z}\) leżącej wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka podwójna w trzecim wymiarze
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \, \int \limits_{- \sqrt{2 - x^2}}^{ \sqrt{2 - x^2}} \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \mbox{d}y}\)
Wygodniej będzie obliczać tą całkę we współrzędnych biegunowych, tj:
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{0}^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho \sqrt{1 + \rho^2} \, \mbox{d}\rho = 2 \sqrt{3} \pi - \frac{2}{3} \pi}\)
Wygodniej będzie obliczać tą całkę we współrzędnych biegunowych, tj:
\(\displaystyle{ S = \int\limits_{0}^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho \sqrt{1 + \rho^2} \, \mbox{d}\rho = 2 \sqrt{3} \pi - \frac{2}{3} \pi}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Całka podwójna w trzecim wymiarze
Tak, gdyż. W sumie, to chyba lepiej byłoby gdybym zapisał to tak:
\(\displaystyle{ S = \iint\limits_S \, \mbox{d}S = \iint\limits_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\) to różniczka powierzchni.
\(\displaystyle{ S = \iint\limits_S \, \mbox{d}S = \iint\limits_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\) to różniczka powierzchni.