Całka podwójna w trzecim wymiarze

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Całka podwójna w trzecim wymiarze

Post autor: zielony789 » 8 sie 2007, o 21:35

Oblicz pole powierzchniczęśći paraboloidy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2z}\) leżącej wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna w trzecim wymiarze

Post autor: luka52 » 9 sie 2007, o 10:11

\(\displaystyle{ S = t\limits_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \, t \limits_{- \sqrt{2 - x^2}}^{ \sqrt{2 - x^2}} \sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2} \, \mbox{d}y}\)
Wygodniej będzie obliczać tą całkę we współrzędnych biegunowych, tj:
\(\displaystyle{ S = t\limits_{0}^{2 \pi} \, \mbox{d}\theta t_{0}^{\sqrt{2}} \rho \sqrt{1 + \rho^2} \, \mbox{d}\rho = 2 \sqrt{3} \pi - \frac{2}{3} \pi}\)

zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Całka podwójna w trzecim wymiarze

Post autor: zielony789 » 10 sie 2007, o 14:20

Pierwiastek który pojawił się za znakiem całek to jest wzór?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna w trzecim wymiarze

Post autor: luka52 » 10 sie 2007, o 14:25

Tak, gdyż. W sumie, to chyba lepiej byłoby gdybym zapisał to tak:
\(\displaystyle{ S = \iint\limits_S \, \mbox{d}S = \iint\limits_D \sqrt{1 + ft( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + ft( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mbox{d}S = \sqrt{1 + ft( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + ft( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 } \, \, \mbox{d}y}\) to różniczka powierzchni.

ODPOWIEDZ