Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: TS » 8 sie 2007, o 16:51

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferycznych?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: luka52 » 8 sie 2007, o 21:12

A co masz dokładnie na myśli pisząc "scałkować elipsoidę"?
Bo jeśli chodzi np. o obliczenie elipsoidy we współrzędnych sferycznych to rachunki nie wyglądają ciekawie (spróbuj sam wyznaczyć jak zmieniałby się promień).

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: TS » 8 sie 2007, o 21:22

Obliczyć jej V. No właśnie z R nie za bardzo to widzę..
Jak byłoby najlatwiec to policzyć?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: luka52 » 10 sie 2007, o 08:04

Na PlanetMath znajduje się ciekawy artykuł jak to obliczyć http://planetmath.org/encyclopedia/Volu ... psoid.html .

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: Amon-Ra » 10 sie 2007, o 09:22

Równanie elipsoidy:

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leqslant 1}\)

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

\(\displaystyle{ x=ar\cos\varphi \sin\nu \\ y=br\sin\varphi \sin\nu \\ z=cr\cos\nu}\)

Obliczając jakobian powyższego dyfeomorfizmu, otrzymujemy \(\displaystyle{ J=abcr^2\sin\nu}\).

Podstawiając współrzędne sferyczne do równania elipsoidy, dostajemy równanie \(\displaystyle{ r^2\leqslant 1}\), co odpowiada równaniu kuli o promieniu równym 1 w nowym układzie współrzędnych. Na tej podstawie:

\(\displaystyle{ V=\iiint_V dxdydz=\int_{0}^{2\pi}d\varphi t_{0}^{\pi} d\nu t_{0}^{1}abcr^2\sin\nu dr=\frac{4}{3}\pi abc}\)

Nietrudno zgadnąć, że jeżeli \(\displaystyle{ a=b=c=R}\), to \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 qslant R^2}\) i \(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\pi R^3}\).

iza_zizi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 192
Rejestracja: 6 gru 2007, o 21:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 49 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: iza_zizi » 15 kwie 2008, o 08:28

Moim zdaniem sa bledy.
Z calki na \(\displaystyle{ V}\) zaproponowanej przez Amon-Ra wychodzi wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi abc}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi abc}\) - prosze o sprawdzenie.

Czy nie powinno byc: \(\displaystyle{ J=abc ^{2}cos \nu}\) dla \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} qslant \nu qslant \frac{\pi}{2}}\) bardzo prosze o rozpatrzenie mojej propozycji!

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czy można scalkować elipsoidę we współrzędnych sferyc

Post autor: luka52 » 15 kwie 2008, o 12:26

Mylisz się, sposób jaki przedstawił Amon-Ra jest jak najbardziej poprawny.
I tak:
- wynik wychodzi jak najbardziej poprawny, tj. \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi abc}\)
- W Twojej propozycji jakobian powinien być postaci \(\displaystyle{ |J| = abc r^2 \cos \nu}\)
- Przyjrzyj się bardzo dokładnie jak Amon-Ra wprowadził układ współrzędnych sferycznych, gdyż jest to kluczowe dla całej sprawy.

ODPOWIEDZ