Trójkąt prostokątny-kąty

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Trójkąt prostokątny-kąty

Post autor: kluczyk » 8 sie 2007, o 13:30

Witam! Mam problem z następującym zadaniem:

!. W trójkącie prostokątnym ABC, wysokość wychodząca z kąta prostego jest 4 razy krótsza od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wyznacz kąty tego trójkąta.
Za ewentualną pomoc byłbym bardzo wdzięczny Z góry dziękuję i pozdrawiam.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Trójkąt prostokątny-kąty

Post autor: luka52 » 8 sie 2007, o 13:38

Ta wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki a i b, takie że:
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} = h}\)
gdzie h to wysokość. Dodatkowo mamy:
\(\displaystyle{ a+b=4h}\)
Wyznaczając z tych dwu równań a i b otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a = h ( 2 - \sqrt{3} ), \quad b = h ( 2 + \sqrt{3} )}\)
(Oczywiście istnieje drugie rozwiązanie, ale... no właśnie - co? )
Mając wyliczone a i b możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \tan = \frac{h}{h ( 2 - \sqrt{3} )} = 75^{\circ}\\
\beta = 90^\circ - = 15^{\circ}}\)

Zatem kątamy tego trójkąta mają miary 15°, 75° i 90°.

Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

Trójkąt prostokątny-kąty

Post autor: kluczyk » 8 sie 2007, o 17:42

Ok, dzięki.

A to skąd się wzieło:
luka52 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt{ab} = h}\)

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Trójkąt prostokątny-kąty

Post autor: Justka » 8 sie 2007, o 17:56

Hm...
oznaczmy sobie x i y jako przyprostokątne tego trójkąta. Układamy równanie (tw.Pitagorasa) :
\(\displaystyle{ x^2+y^2=(a+b)^2}\)
Oprócz tego mamy jeszcze takie zalezności:
\(\displaystyle{ a^2+h^2=x^2}\) i \(\displaystyle{ b^2+h^2=y^2}\)
Postawiajac do pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2+h^2+b^2+h^2=a^2+2ab+b^2\\
2h^2=2ab\\
h=\sqrt{ab}}\)


ODPOWIEDZ