różniczkowe z pierwiastkami:/

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
kwijatkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 25 lip 2007, o 23:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

różniczkowe z pierwiastkami:/

Post autor: kwijatkowski » 7 sie 2007, o 21:45

mam problem z nast równaniem tzn "potrafie" je rozwiązac ale nie wychodzi dobrze...
bede wdzieczny za pomoc

\(\displaystyle{ \sqrt{1-x^2} y\prime\prime + \sqrt{1-y\prime^2}=0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

różniczkowe z pierwiastkami:/

Post autor: Kasiula@ » 8 sie 2007, o 15:34

Zrobimy podstawienie:
\(\displaystyle{ y'=p, y"=\frac{dp}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{dp}{\sqrt{1-p^{2}}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ arccos p =arcsin x +C \iff p=\cos(arcsinx+C)}\)
Stosując wzór na cos sumy kątów i na przejścia z arcsin na arccos i odwrotnie,otrzymujemy:
\(\displaystyle{ p=C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=\int C_{1}\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-C_{1}^{2}} dx=\frac{1}{2}C_{1}x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{1}{2}x^{2}\sqrt{1-C_{1}^{2}}+\frac{1}{2}C_{1}arcsinx+C_{2}}\)

ODPOWIEDZ