Czym jest całka?

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Czym jest całka?

Post autor: zielony789 » 7 sie 2007, o 20:14

Może głupie pytanie ale czym tak naprawdę jest całka? Wiem że Używa się jej do obliczania objętości i powierzchni, ale w sumie rzeczy, niedawno, rozwiązując zadanie natrafiłem na ujemny wynik całkowania. Zadanie było z całek podwójnych.
Ostatnio zmieniony 7 sie 2007, o 22:18 przez zielony789, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czym jest całka?

Post autor: luka52 » 7 sie 2007, o 20:16

A czy wyjaśnienie z wikipedii wystarczy http://pl.wikipedia.org/wiki/Całka

A jeśli chodzi o ujemny wynik, to czy mógłbyś przytoczyć ten przykład?

zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Czym jest całka?

Post autor: zielony789 » 7 sie 2007, o 20:58

Byłem już na wikipedii ale nie satysfakcjonuje mnie to, przykladu teraz nie moge znalezc a czemu pytasz sie o niego?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czym jest całka?

Post autor: luka52 » 7 sie 2007, o 21:57

Pytam o przykład, gdyż wtedy łatwiej byłoby mi odpowiedzieć na Twoje pytanie dotyczące całki i ujemnego wyniku.

A co do pytania co to jest całka, to może:
http://mathworld.wolfram.com/Integral.html pisze:An integral is a mathematical object that can be interpreted as an area or a generalization of area.
Czyli całka jest obiektem matematycznym, który może być interpretowany jako pole lub uogulnienie pola.
Albo po prostu całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania.

zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Czym jest całka?

Post autor: zielony789 » 7 sie 2007, o 22:15

Trudno mi jest zrozumieć jak ona działa i do czego jej się używa, generalnie korzystanie z kolejnych podręczników do analizy matematycznej i kolejne przykłady stosowania całek podwójnych i potrójnych starają sie złamać moją wiarę w siebie i to że zrozumiem temat albo Ja sam jak kto woli.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Czym jest całka?

Post autor: Amon-Ra » 7 sie 2007, o 22:23

zielony789 pisze:Może głupie pytanie ale czym tak naprawdę jest całka?
Wcale nie głupie. Ale jaka całka - oznaczona czy nieoznaczona? Bo to dwie różne rzeczy. Całka oznaczona to liczba, nieoznaczona to funkcja. W przypadku całki oznaczonej - możesz sobie wyobrażać, iż całkowanie to dodawanie nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów... Powiedzmy kroisz jabłko na niezwykle cienkie plasterki, potem te plasterki sklejasz ze sobą i w efekcie otrzymujesz jabłko, prawie takie samo, jak przed pocięciem . To sklejanie to analog całkowania.

Formalnie rzecz biorąc, mówiąc o całce oznaczonej, mamy na myśli leżącą w nieskończoności granicę ciągu sum całkowych, które powstają poprzez dodawanie (w przypadku całki funkcji jednej zmiennej) iloczynów elementów \(\displaystyle{ \Delta x_n}\) i wartości funkcji w punkcie pośrednim, należącym do tego elementu, czyli \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Finalnie tworzy się granica postaci \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} ft( \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x_i \right)}\) i o ile taka granica istnieje pod pewnymi dodatkowymi warunkami, to nazywamy ją całką oznaczoną i zapisujemy jako \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\).
zielony789 pisze:generalnie korzystanie z kolejnych podręczników do analizy matematycznej i kolejne przykłady stosowania całek podwójnych i potrójnych starają sie złamać moją wiarę w siebie
Nie wszystko na raz. Aby wiedzieć, co znaczą "eski" podwójne i potrójne, musisz poznać sens pojedynczych.
luka52 pisze:Czyli całka jest obiektem matematycznym, który może być interpretowany jako pole lub uogulnienie pola.
Ostrożnie z takim stwierdzeniem - patrz całka oznaczona o ujemnej wartości, a przecież ujemnych pól jeszcze nie wynaleziono .

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Czym jest całka?

Post autor: luka52 » 7 sie 2007, o 22:26

Amon-Ra, oczywiście, jednak zauważ że napisane jest "który może być", więc niekoniecznie "musi być".

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Czym jest całka?

Post autor: Amon-Ra » 7 sie 2007, o 22:30

I bardzo dobrze, wszak ja nie negowałem zacytowanego zdania, a tylko zwróciłem uwagę na roztropność w przedkładaniu zastosowań nad definicję .

zielony789, jeżeli masz pytania, wątpliwości - śmiało, po to przecież jest forum, aby je rozwiewać .

ODPOWIEDZ