Rząd macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 7 sie 2007, o 18:40

Nie za bardzo rozumiem jak się oblicza rząd macierzy. Czy ktoś mógłby mi to jasno i dokładnie wytłumaczyć?

Weźmy taki przykład.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&2\\2&1&-1&1&3\end{array}\right]}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Rząd macierzy

Post autor: luka52 » 7 sie 2007, o 18:43

Rząd tej macierzy to 2, gdyż stopień największego niezerowego minora tej macierzy to właśnie 2.
Innymi słowy "wewnątrz" tej macierzy nie "zmieści" się macierz kwadratowa stopnia większego niż 2.

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 7 sie 2007, o 18:58

Już trochę jaśniej. A dałoby się to bardziej zrozumiale wytłumaczyć? Jaki jest sposób na obliczanie tego?

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Rząd macierzy

Post autor: Hania_87 » 7 sie 2007, o 21:39

Jedna z najszybszych metod obliczania rzędu macierzy jest metoda Gaussa. Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa należy, za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej(macierz której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie). Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

Przykłady:
\(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{cccc}4 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B= ft[\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ C = ft[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ D = ft[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right]}\)

rz A = 4,
rz B = 3,
rz C = 5,
rz D = 3.

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 8 sie 2007, o 10:43

Nie do końca rozumiem. Jest taka macierz:


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-2&5\\-1&3&-2\\2&1&3\end{array}\right]}\)

Aby obliczyć rząd tej macierzy, co należy zrobić?
Rząd może byc ≤3 i co dalej, proszę o pomoc.

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Rząd macierzy

Post autor: Kasiula@ » 8 sie 2007, o 12:47

Polecam zajrzec na strone: http://pl.wikipedia.org/wiki/Rząd_macierzy

Podales macierz kwadratową st. 3. Łatwo wyelimonować rz=3,ponieważ wyznacznik tej macierzy jest równy zer (zatem jesli kolumny potraktujemy jako wektory,to z tego ze wyznacznik jest rowny zero otrzymujemy ze dane wektory sa liniowo zależne,a my szukamy niezaleznych zgodznie z definicja rzedu macierzy).
Dalej korzystasz z metody Gaussa (co przedstawila Hania_87):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-2&5\\-1&3&-2\\2&1&3\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc}0&0&0\\-1&0&-1\frac{4}{7}\\0&7&-1\end{array}\right]}\)
i otrzymujesz,ze rz danej macierzy jest rowny 2.

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 8 sie 2007, o 13:49

Dziękuję. Jest jeszcze taka sprawa.

Ponieważ wyznacznik równa się 0 to rząd macierzy będzie

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Rząd macierzy

Post autor: Kasiula@ » 8 sie 2007, o 14:31

Mi się wydaje,że jest taka metoda. Tyle,że ona czasem jest pracochłonna. ??:
Np. w macierzy która podałeś pierwszą to działa odrazu (chociazby dwie pierwsze kolumny).

Ja osobiscie korzystam z tej metody i nikt nie powiedział mi,że jest błędna,chociaż,że nauczano mnie metody Gaussa. Może się myle,a to było tylko przeoczenie...

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Rząd macierzy

Post autor: Hania_87 » 8 sie 2007, o 16:46

Tak na chłopski rozum, to rząd jest równy tyle ile macierz ma jedynek wiodących.
Jak nie widzisz ile wynosi rząd macierzach na powyższych przykładach, to wykonuj dalej operacje elementarne aż wyjdą Ci jedynki wiodące (jedynki po skosie) patrz przykład C, D.

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 9 sie 2007, o 20:03

okey! dziękuję bardzo za pomoc:)

Mam takie pytanie dlaczego rząd tej macierzy = 2
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&1&1\\4&2&2&2\end{array}\right]}\)

skoro wyznacznik
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}\right]}\)
jest równy 0 i
wyznacznik
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&2\end{array}\right]}\)
też jest równy 0 ?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

Rząd macierzy

Post autor: mol_ksiazkowy » 9 sie 2007, o 22:41

hmm ten rzad jest równy jeden,

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Rząd macierzy

Post autor: sq » 9 sie 2007, o 22:49

właśnie mnie tez się tak wydaje ze rzad tej macierzy = 1.
w ksiazce w odpowiedziach z ktorej przerabiam jest napisane ze rzad = 2. no i jak tu sie ma czlowiek dobrze nauczyc, skoro probuje rozwiazac potem patrzy do opowiedzi gdzie sa bledy, zamiast skontrolowac czy dobrze mysli

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Rząd macierzy

Post autor: Hania_87 » 10 sie 2007, o 11:07

W książkach często są błędy, najwięcej w odpowiedziach. Jak robię zadanie, to zawsze jestem święcie przekonana, że to ja robię błędy, a nie autorzy książek ??:

Użytkownik20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 paź 2007, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z kątowni

Rząd macierzy

Post autor: Użytkownik20 » 20 paź 2007, o 19:36

Witam.
Mam notatki znajomej, w których to rząd macierzy obliczany jest wg następującego schematu:

r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\-3&2&1&2\\3&1&0&1\end{array}\right]}\) = r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&4&0&5\\-2&2&1&2\\3&1&0&1\end{array}\right]}\) = 1 + r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&4&5\\3&1&1\end{array}\right]}\) = 1 + 2 = 3

No i problem w tym, że nie rozumiem tego momentu gdzie macierz gubi wiersz i kolumnę. Jak to sie stało, powiedzcie mi prosze dokładnie.


A co do metody Gaussa. Przecież może się zdarzyć, że zbudujemy macierz schodkową, która MOGŁABY mieć więcej zerowych wierszy, niż nam się udało dokonać i co wtedy ? Błąd ?



Próbuję sobie sporządzić algorytm rozwiązywania układu. Oceńcie i wprowadzcie proszę korekty do tego co zrobiłem:

1. Sprawdzamy czy m=n (czy liczba równań równa jest liczbie niewiadomych)

a.) Jeśli m=n to obliczamy wyznacznik macierzy głownej układu.
- Jeśli wyznacznik ten W≠0 to rozwiązujemy układ stosując wzory
Cramera
- Jeśli wyznacznik W= 0 to rozpoczynamy liczenie metodą Gaussa

b.) Jeśli m≠n to od razu przechodzimy do metody Gaussa.

Dobrze rozkminiam ?

Pozdrawiam.

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Rząd macierzy

Post autor: Hania_87 » 21 paź 2007, o 00:31

Użytkownik20 pisze: r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\-3&2&1&2\\3&1&0&1\end{array}\right]}\) = r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&4&0&5\\-2&2&1&2\\3&1&0&1\end{array}\right]}\) = 1 + r \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&4&5\\3&1&1\end{array}\right]}\) = 1 + 2 = 3

No i problem w tym, że nie rozumiem tego momentu gdzie macierz gubi wiersz i kolumnę. Jak to sie stało, powiedzcie mi prosze dokładnie.
w drugim wersie trzeci wyraz jest jedynką i wyrzucasz wiersz i kolumnę, która się krzyżuje na tej jedynce
Użytkownik20 pisze: A co do metody Gaussa. Przecież może się zdarzyć, że zbudujemy macierz schodkową, która MOGŁABY mieć więcej zerowych wierszy, niż nam się udało dokonać i co wtedy ? Błąd ?
jak będziesz więcej rozwiązywać, to będziesz to widzieć czy to są wszystkie jedynki wiodące, a jak tego nie widzisz, to sprowadź do postaci całkowicie zredukowanej.

ODPOWIEDZ