zmywanie naczyń

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

zmywanie naczyń

Post autor: pelas_91 » 5 sie 2007, o 22:11

jeśli danego dnia naczynia zmywa mąż, to następnego zmywa żona. natomiast jeśli danego dnia zmywa ona, to za pomocą rzutu monetą rozstrzygają, kto zmywa naczynia następnego dnia. pierwszego dnia po ślubie zmywał on. jakie jest prawdopodobieństwo że będzie również zmywał w ich 10 rocznicę?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

zmywanie naczyń

Post autor: jasny » 6 sie 2007, o 15:17

Najpierw narysować sobie drzewko:
\(\displaystyle{ \begin{array}{cccccccccc}1&\,&\,&\,&\,&M1&\,&\,&\,&\,\\2&\,&\,&\,&\,&Z1&\,&\,&\,&\,\\3&\,&M\frac{1}{2}&\,&\,&\,&\,&Z\frac{1}{2}&\,&\,\\4&\,&Z\frac{1}{2}&\,&\,&M\frac{1}{4}&\,&\,&Z\frac{1}{4}&\,\\5&M\frac{1}{4}&\,&Z\frac{1}{4}&\,&Z\frac{1}{4}&\,&M\frac{1}{8}&\,&Z\frac{1}{8}\\\,&\,&\,&\,&\,&...&\,&\,&\,&\,\end{array}}\)

I tak dalej. Więc, prawdopodobieństwo, że mąż zmywa w dniu:
2 - \(\displaystyle{ 0}\)
3 - \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
4 - \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
5 - \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)
6 - \(\displaystyle{ \frac{5}{16}}\)
7 - \(\displaystyle{ \frac{11}{32}}\)
8 - \(\displaystyle{ \frac{21}{64}}\)

Można zauważyć, że licznik każdego kolejnego ułamka jest różnicą mianownik-licznik ułamka poprzedniego. Mianownik \(\displaystyle{ i}\)-tego ułamka wyraża się wzorem \(\displaystyle{ 2^{i-2}}\) (dla \(\displaystyle{ i>1}\)). Zatem każdy licznik wynosi \(\displaystyle{ L_{i+1}=2^{i-2}-L_i}\)

Z drugiej strony każdy licznik jest równy poprzedniemu razy 2, i na przemian + lub - 1
\(\displaystyle{ L_{i+1}=2\cdot L_i+(-1)^{i}}\)

Porównując te dwie zależności rekurencyjne, otrzymujemy wzór ogólny:
\(\displaystyle{ 2\cdot L_i+(-1)^{i}=2^{i-2}-L_i}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot L_i=2^{i-2}+(-1)^{i+1}}\)
\(\displaystyle{ L_i=\frac{2^{i-2}+(-1)^{i+1}}{3}}\)

Dołączając mianownik, prawdopodobieństwo zmywania przez męża w \(\displaystyle{ i}\)-tym dniu po ślubie wynosi:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{2^{i-2}+(-1)^{i+1}}{3\cdot2^{i-2}}=\frac{1}{3}-\frac{(-1)^{i-2}}{3\cdot2^{i-2}}=\frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^{i-2})}\), dla \(\displaystyle{ i>1}\)

Wystarczy policzyć który z kolei dzień po ślubie przypada na 10 rocznicę, uwzględniając przypadki z latami przestępnymi i podstawić do wzoru

ODPOWIEDZ