Quiz matematyczny

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 255 razy

Quiz matematyczny

Post autor: Elayne » 6 lis 2016, o 12:56

Stała Feigenbauma.

Nowe:
Mamy czworokąt wpisany w okrąg. Narysujmy jedną z przekątnych wielokąta i wpiszmy w każdy trójkąt niebieski okrąg. Następnie powtórzmy to z drugą przekątną rysując tym razem czerwone okręgi.
Jakie twierdzenie mówi o tym że suma promieni okręgów niebieskich jest taka sama, jak suma promieni czerwonych okręgów?

Ciekawostka związana z tą konstrukcją - środki czterech okręgów tworzą prostokąt.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 6 lis 2016, o 13:46

Elayne pisze:Mamy czworokąt wpisany w okrąg. Narysujmy jedną z przekątnych wielokąta i wpiszmy w każdy trójkąt niebieski okrąg. Następnie powtórzmy to z drugą przekątną rysując tym razem czerwone okręgi. Jakie twierdzenie mówi o tym że suma promieni okręgów niebieskich jest taka sama, jak suma promieni czerwonych okręgów?
Japońskie twierdzenie o czworokącie wpisanym/Stare twierdzenie japońskie?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6485
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mol_ksiazkowy » 6 lis 2016, o 13:52

albo inna nazwa tw Sangaku...

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 255 razy

Quiz matematyczny

Post autor: Elayne » 6 lis 2016, o 13:55

Mdd ma pytanie.

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 6 lis 2016, o 15:25

Może takie coś dla przypomnienia. Poniżej jest przedstawiony pseudokod opisujący pewną procedurę rekurencyjną. Dla pewnych wartości startowych \(\displaystyle{ a, b}\) (jakich?) zmienne te zbiegają się do wartości, która jest w pewien bardzo prosty sposób związana z pewną bardzo znaną liczbą. Jaka to liczba?

Kod: Zaznacz cały

a=?;
b=?;
i=1;

while(i<30);
	a=(b+a)/2;
	b=sqrt(b*a);
	x=(1/b+1/a)/2
	i=i+1;
end
Uzupełniając: procedura ta ma pewne dość proste uzasadnienie podobno podane przez pewnego matematyka z XV wieku. O kogo chodzi?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19416
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Quiz matematyczny

Post autor: a4karo » 6 lis 2016, o 16:08

Ta procedura oblicza średnią arytmetyczno-geometryczną AGM(a,b)

Np dla \(\displaystyle{ a=b=e}\) ciąg ten zbiega do \(\displaystyle{ e}\) (bo jest stały)

NB w procedurze obliczenie x do niczego nie służy

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 6 lis 2016, o 19:08

a4karo pisze:Ta procedura oblicza średnią arytmetyczno-geometryczną AGM(a,b)
No chyba nie do końca.
Ukryta treść:    
Mniejsza z tym. Pewnie trochę zamieszałem. W takim razie napiszę moją zagadkę w inny sposób.

Proszę podać kto w XV wieku wymyślił pewną rekurencyjną procedurę wyznaczania przybliżeń pewnej dosyć znanej liczby \(\displaystyle{ x}\), która za pomocą pseudokodu może być przedstawiona w następujący sposób:

Kod: Zaznacz cały

a=?;
b=?;
i=1;

while(i<30);
   a=(b+a)/2;
   b=sqrt(b*a);
   i=i+1;
end
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}<x<\frac{1}{b}}\)

Proszę również o podanie jaki sens mają zmienne \(\displaystyle{ a, b, a \neq b}\) w tej procedurze i o jaką liczbę chodzi. Cała procedura powstała na bazie pewnych rozważań geometrycznych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19416
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Quiz matematyczny

Post autor: a4karo » 6 lis 2016, o 19:58

FAkt, ten algorytm daje tzw. średnią Schwaba-Borchardta

\(\displaystyle{ SB(a,b)=\begin{cases}\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\arccos(a/b)} & \text{dla } a<b\\ \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\mathrm{arcosh}(b/a)} & \text{dla } a>b \end{cases}}\)

I pewnie mógłby być użyty do wyliczenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\) (np dla \(\displaystyle{ b=1, a=1}\))

ALgortym znali Gauss i Pfaff, także Archimedesowa procedura wyliczenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\) przez policzenie obwodu 96-kąta mogła używac podobnych działań, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 255 razy

Quiz matematyczny

Post autor: Elayne » 7 lis 2016, o 02:51

a4karo pisze:, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy
Madhawa z Sangamagramy?

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 7 lis 2016, o 18:18

a4karo, tak, chodzi o liczbę \(\displaystyle{ \pi}\).
Elayne pisze:Madhawa z Sangamagramy?
Nie, to nie o tego pana chodzi.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19416
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Quiz matematyczny

Post autor: a4karo » 7 lis 2016, o 20:27

Elayne pisze:
a4karo pisze:, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy
Madhawa z Sangamagramy?
Ależ Ty masz znajomych Jestem full of podziw.

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 255 razy

Quiz matematyczny

Post autor: Elayne » 14 lis 2016, o 18:49

To może Al-Kashi (zmodyfikował metodę Archimedesa)?

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 14 lis 2016, o 22:23

Elayne pisze:To może Al-Kashi (zmodyfikował metodę Archimedesa)?
Z tego co widzę tutaj, to Al-Kashi otrzymał nieco inny wynik niż jegomość, o którego pytam. Ciekawe, że na anglojęzycznych stronach www nie mogę znaleźć informacji na temat Pana X (ale np. po niemiecku czy po hiszpańsku coś się udaje znaleźć). Ja natknąłem się na Pana X w jednej z książek popularnonaukowych z wyd. Prószyński i S-ka.

Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1881
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 509 razy

Quiz matematyczny

Post autor: mdd » 27 lis 2016, o 09:58

mdd pisze:Ciekawe, że na anglojęzycznych stronach www nie mogę znaleźć informacji na temat Pana X (ale np. po niemiecku czy po hiszpańsku coś się udaje znaleźć).
Przepraszam. Nie to chciałem napisać. Informacje na temat Pana X i na polskojęzycznych stronach się znajdzie. Chodziło mi tylko o wzmiankę na temat tego pomysłu wyznaczania przybliżenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\), o który pytam.

Jeszcze podpowiedź: Pan X był wysoko usytuowaną osobą w hierarchii kościelnej. Imię tego Jegomościa lubią chyba wszystkie dzieci . Był także filozofem, teologiem i astronomem.

Jeśli nikt nie wskaże postaci w ciągu najbliższego tygodnia, to o zadanie następnego pytania proszę a4karo, który "połowicznie" odpowiedział na moją zagadkę.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7977
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 262 razy
Pomógł: 3124 razy

Quiz matematyczny

Post autor: kerajs » 27 lis 2016, o 14:40

Może Mikołaj Kuzańczyk?

ODPOWIEDZ