Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f:R ^{3} \rightarrow R ^{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y-z,2x+z)}\).

Baza obrazu wynosi:
\(\displaystyle{ lin[(1,2),(1,0),(-1,1)]}\), czy \(\displaystyle{ lin[(1,2),(0,-2)]}\)?

Ilu wymiarową przestrzenią jest obraz?

\(\displaystyle{ dim~Im~f=2}\), zatem?

A co możesz powiedzieć o bazie? Wystarczy w sumie definicja

Wymiar bazy obrazu równa się rzędowi macierzy odwzorowania, czyli propozycja pierwsza?

Bazą to maksymalna ilość wektorów liniowo niezależnych, które tworzą całą przestrzeń. Druga część jest spełniona (a przynajmniej w to wierzę), zostaje Twoje pytanie. Skoro sam napisałeś, że przestrzeń jest wymiaru dwa to ile jest wektorów liniowo niezależnych w takiej przestrzeni (maksymalna ilość oczywiście)?

Ciśnie się na usta odpowiedź dwa wektory, czyli jednak propozycja druga...

Tak się ciśnie. Zauważ, że pierwsza propozycja nie jest bazą, bo wektory są współliniowe.

Dziękuję za naprowadzenie

A jak uzasadnisz, że \(\displaystyle{ [0,-2]}\) jest w obrazie?

Na podstawie sposobu użytkownika Cod: 11182.htm
Czyżby \(\displaystyle{ [0,-2]}\) było nie w porządku?

Pewnie jest, ale powinieneś wskazać takie \(\displaystyle{ x,y,z}\) dla których \(\displaystyle{ f(x,y,z)=[0,-2]}\)

To w takim razie odpowiedź \(\displaystyle{ lin[(1,2),(0,-2)]}\) nie kończy rozwiązania zadania?

Jeżeli pokażesz, że oba te wektory są w obrazie, to kończy.

Baza przestrzeni musi w tej przestrzeni być.

Nawiasem mówiąc podałęś, ale nie udowodniłeś, że wymiar obrazu wynosi 2.