Matematyka.pl

Mam wykazać, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } -\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 }}\) jest całkowita. Jest to zadanie maturalne, które można oczywiście rozwiązać przez przyrównanie liczby do x, podniesienie obustronne do potęgi 3 itd. Czy ktoś wie jednak , jak zostałoby ocenione na maturze takie rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } -\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 } = 2 \sqrt{2}+6+3 \sqrt{2}+1 - (2 \sqrt{2} - 6+3 \sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} ^{3} + 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}+1 ^{3} - (\sqrt{2} ^{3} - 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}-1 ^{3}) = \sqrt[3]{( \sqrt{2}+1 ) ^{3}} - \sqrt[3]{( \sqrt{2}-1 ) ^{3}}=\sqrt{2}+1 -\sqrt{2}+1= 2}\)

Tylko na maturze żebyś nie zapomniał tego pierwiastka dopisać

To rozwiązanie jest znacznie prostsze, ale czy łatwo na to wpaść?
Btw co po tym podniesieniu do trzeciej potęgi? Mamy \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) i trzeba rozwiązać wielomian?

Jest to zadanie maturalne, które można oczywiście rozwiązać przez przyrównanie liczby do x, podniesienie obustronne do potęgi 3 itd.

Podniesienie do trzeciej poęgi nic Ci nie da, bo

\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3}\),

a więc będziesz miał dwa niepożądane czynniki - te z kwadratami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

Spróbuj może pokombinować ze wzorami na różnicę sześcianów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ a-b=x}\)

\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3= a^3 - 3ab(a-b) - b^3}\)

\(\displaystyle{ x^3=a^3-3abx-b^3}\)

@Dilectus czynniki z kwadratami poznikały. Jeśli rzeczywiście \(\displaystyle{ a-b}\) jest wymierne to otrzymamy wielomian 3 stopnia ze współczynnikami całkowitymi, którego rozwiązanie znajduje się w zbiorze dzielników wyrazu wolnego.

Straznik Teksasu pisze:\(\displaystyle{ a-b=x}\)
@Dilectus czynniki z kwadratami poznikały.

Tak przypuszczałem, ale z czystego lenistwa nie liczyłem.

To jak w końcu myślicie, przeszłoby takie rozwiązanie na maturze?

Wydaje mi się że w tym zadaniu to o to właśnie chodziło aby wzorów skróconego mnożenia użyć, a przeszło by raczej na pewno. Oczywiście jak dobrze rozwiążesz.