Rozwiązania w zależności od parametru.
: 29 gru 2015, o 03:35
Witam.
Mam wyznaczyć wartości rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ a}\) dla których układ posiada jedno niezerowe rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y(1+a) = -a \\ x(2-a) + y = -2 \\ 2x + ay = 1-a \end{cases}}\).
Aby układ posiadał rozwiązanie to z twierdzenia Kroneckera-Capelliego rząd macierzy musi być równy rzędowi macierzy uzupełniony i równy liczbie niewiadomych.
Macierz uzupełniona \(\displaystyle{ A_u = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\(2-a)&1&-2\\2&a&(1-a)\end{array}\right]}\)
No to przekształcam, żeby otrzymać coś sensownego.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&1 - (1+a)(2-a)&-2 +a(2-a)\\0&a - 2 - 2a&1 - a + 2a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&a^2 - a - 1&-a^2 +2a - 2\\0&-a-2&1 + a\end{array}\right]}\)
Najpierw macierz główna.
\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) zgadza się?
Co się zaś tyczy macierzy uzupełnionej, to:
\(\displaystyle{ rankA_u = 2 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}a^2 - a - 1&-a^2 +2a -2\\-a-2&1+a\end{array}\right| \neq 0}\)
Wydaje mi się, że powyższy warunek zagwarantuje mi, że ostatnie dwa wiersze macierzy uzupełnionej będą liniowo niezależne, czyli jej rząd będzie równy \(\displaystyle{ 2}\). Mam rację?
Po rozwiązaniu tych warunków trzeba oczywiście jeszcze sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązanie jest zerowe i ten wartości parametry z odpowiedzi wykluczyć.
Dobrze myślę, czy gdzieś mam błąd w rozumowaniu?
Mam wyznaczyć wartości rzeczywistego parametru \(\displaystyle{ a}\) dla których układ posiada jedno niezerowe rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + y(1+a) = -a \\ x(2-a) + y = -2 \\ 2x + ay = 1-a \end{cases}}\).
Aby układ posiadał rozwiązanie to z twierdzenia Kroneckera-Capelliego rząd macierzy musi być równy rzędowi macierzy uzupełniony i równy liczbie niewiadomych.
Macierz uzupełniona \(\displaystyle{ A_u = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\(2-a)&1&-2\\2&a&(1-a)\end{array}\right]}\)
No to przekształcam, żeby otrzymać coś sensownego.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&1 - (1+a)(2-a)&-2 +a(2-a)\\0&a - 2 - 2a&1 - a + 2a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&(1+a)&-a\\0&a^2 - a - 1&-a^2 +2a - 2\\0&-a-2&1 + a\end{array}\right]}\)
Najpierw macierz główna.
\(\displaystyle{ rankA=2 \Leftrightarrow a \neq -2 \wedge a^2 - a - 1 \neq 0}\) zgadza się?
Co się zaś tyczy macierzy uzupełnionej, to:
\(\displaystyle{ rankA_u = 2 \Leftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}a^2 - a - 1&-a^2 +2a -2\\-a-2&1+a\end{array}\right| \neq 0}\)
Wydaje mi się, że powyższy warunek zagwarantuje mi, że ostatnie dwa wiersze macierzy uzupełnionej będą liniowo niezależne, czyli jej rząd będzie równy \(\displaystyle{ 2}\). Mam rację?
Po rozwiązaniu tych warunków trzeba oczywiście jeszcze sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) rozwiązanie jest zerowe i ten wartości parametry z odpowiedzi wykluczyć.
Dobrze myślę, czy gdzieś mam błąd w rozumowaniu?