Matematyka.pl

Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego równania wielomianowego stopnia trzeciego:

\(\displaystyle{ 5x^3 -15x^2 +19=0}\)

Przeleciałem twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych, ale żaden z kandydatów nie był dobry...

Sprawdziłem na wolframie i są 3 pierwiastki rzeczywiste: http://www.wolframalpha.com/input/?i=5 ... %5E2+%2B19

Tylko jak ja mam do tego dojść?

Chciałem się pobawić wzorami Viete'a, ale chyba zbytnio się zakopałem. Dostrzegłem też wzory Cardano, spróbowałem zrobić, otrzymałem z nich równanie tego typu:

\(\displaystyle{ y^3 -3y + \frac{9}{5} =0 \Leftrightarrow 5y^3 -15y +9 = 0}\)

Niestety również tutaj twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu nie działa A pierwiastki istnieją:


Co robić? Może coś źle robię we wzorach Cardano? Dopowiem, że zetknąłem się z nimi dopiero teraz

Proszę o pomoc i z góry dziękuję!

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nie może działać skoro te pierwiastki nie są wymierne. Albo równania które otrzymałeś są błędne, albo musisz walczyć ze wzorami Cardano, albo próbować przybliżać te pierwiastki.

To przekształcenie równania które wykonałeś (nawiasem mówiąc chyba nawet błędnie), to nie są jeszcze wzory Cardano, to jest dopiero uporządkowanie równania przed ich zastosowaniem.

Na razie poprawnie sprowadziłeś równanie do tzw. postaci kanonicznej.

Ponieważ równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste, najlepiej wykorzystywać metodę Cardano w wersji trygonometrycznej. Szczególy masz jako Przypadek 3.