Z definicji obliczyć granicę funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: mardi4 » 4 sie 2007, o 08:54

Z definicji obliczyć granicę funkcji:

\(\displaystyle{ lim\frac{n^{3}+n-1}{n^{3}-n^{2}-n+100}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: setch » 4 sie 2007, o 11:33

W punkcie jakims, w nieskonczoności?

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: Hania_87 » 4 sie 2007, o 17:31

Definicja Heinego , Definicja Cauchy'ego :?:

mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: mardi4 » 5 sie 2007, o 09:57

tak w nieskończoności...a czy z Definicji Heinego , czy Definicji Cauchy'ego to nie wiem nie podano :(

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: max » 5 sie 2007, o 13:12

Czy przypadkiem nie chodzi tutaj o obliczenie granicy ciągu?

mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: mardi4 » 5 sie 2007, o 20:21

chyba tak...pisze chyba bo tak mi babka podała ale może się pomyliła...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: max » 5 sie 2007, o 21:22

No dobra, będą 3 wersje:
1. Zakładam, że liczymy granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}}\)
Wykażemy z definicji granicy ciągu, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 1}\)
Przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) przekształcamy na równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
Zauważmy, że ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ n > 2}\):
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{2} + 2n - 101}{n^{3} - n^{2} - n + 100}\right| }\)
to nasza nierówność wyjściowa zajdzie w szczególności wtedy, gdy \(\displaystyle{ n > 2}\) oraz:
\(\displaystyle{ \frac{3}{n - 2} }\)
czyli gdy \(\displaystyle{ n > n_{0} = \max\left\{2, \frac{3}{\varepsilon} + 2\right\}}\)
zatem dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \left|\frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100} - 1\right| }\)
co, na mocy definicji granicy ciągu, kończy dowód.

2. Zakładam, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Heinego.
Obieramy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\) i liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(a_{n}) = \lim_{n\to \infty}\left(\frac{a_{n}^{3} + a_{n} - 1}{a_{n}^{3} - a_{n}^{2} - a_{n} + 101}\right) =\\
= \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{a_{n}^{2}} - \frac{1}{a_{n}^{3}}}{1 - \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n}^{2}} + \frac{101}{a_{n}^{3}}}\right) = 1}\)


3. Zakładając, że liczymy granicę funkcji \(\displaystyle{ f(n) = \frac{n^{3} + n - 1}{n^{3} - n^{2} - n + 100}, \ n\in\mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\) i mamy posłużyć się definicją Cauchy'ego - możemy skorzystać z rozumowania przedstawionego w 1., gdyż zastosowane tam szacowanie zachodzi również dla rzeczywistych \(\displaystyle{ n > 2}\)

mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Z definicji obliczyć granicę funkcji

Post autor: mardi4 » 6 sie 2007, o 08:11

wielkie dzięki

ODPOWIEDZ