Matematyka.pl

Dana jest cykloida: \(\displaystyle{ x = a(t - \sin t)}\), \(\displaystyle{ y = a(1 - \cos t)}\).

Do policzenia jej długości wychodzi mi całka \(\displaystyle{ \sqrt{2}a \int \sqrt{1 - \cos t}dt}\)

Liczę ją na przedziale od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2\pi}\)

Nie wiem, czy to dobry przedział, bo w efekcie wychodzi mi \(\displaystyle{ \sqrt{2}a \cdot (- \sqrt{1 + \cos t} \cdot 2)}\) i to na przedziale od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2\pi}\) daje mi 0, a ma wyjść 8a.

Gdzie robię błąd?

Ten przykład jest wytłumaczony w Wikipedii:

to mi nic nie daje, bo ja nie chcę korzystać z żadnego wzoru trygonometrycznego, tylko ze swojego wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{2}a \cdot (- \sqrt{1 + \cos t} \cdot 2)}\)

to może pokaż w jaki sposób liczysz tą całkę.

Do całki, która mi wychodzi najpierw podstawiam:
\(\displaystyle{ \cos{t} = y \Rightarrow \sin{t} = \sqrt{1 - y^2}}\)
\(\displaystyle{ -\sin{t}dt = dy \Rightarrow dt = \frac{-dy}{\sqrt{1 - y^2}}}\)

\(\displaystyle{ a \sqrt{2} \int \sqrt{1 - \cos{t}} dt = - a \sqrt{2} \int \sqrt{1 - y} \cdot \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = - a\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+y}} dy =}\)
\(\displaystyle{ = -a\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+\cos{t}} \cdot 2 + C}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\sin ^{2} t}=|\sin t|}\) dlatego że tutaj mamy przedział \(\displaystyle{ t \in [0,2\pi]}\)