Monotoniczność i ograniczoność

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: mardi4 » 4 sie 2007, o 08:42

Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: przemk20 » 4 sie 2007, o 09:22

\(\displaystyle{ n^2 + 1 q 2 \sqrt {n^2} = 2 n \\
0\leq \frac{n}{n^2+1} q \frac{1}{2} \\}\)


mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: mardi4 » 5 sie 2007, o 10:05

czy te zadanie jest dobrze zrobione?? jaka jest monotoniczność tej funkcji??

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: Tristan » 5 sie 2007, o 11:12

Tutaj nie masz żadnej funkcji tylko ciąg. przemk20 skorzystał z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, skąd uzyskał ograniczenie. Co do monotoniczności, to \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{ (n+1)^2 +1} - \frac{n}{n^2 +1}= \frac{ (n+1)(n^2 +1) - n(n^2 +2n+2) }{ (n^2+2n+2)(n^2+1)}= \frac{n^3 +n+n^2 +1-n^3 - 2n^2 - 2n}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}= \frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} }\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: soku11 » 5 sie 2007, o 11:20

Monotonicznosc:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{n+1}{n^{2}+2n+2}-\frac{n}{n^{2}+1}=
\frac{(n+1)(n^{2}+1)-n(n^{2}+2n+2)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{n^{3}+n^{2}+n+1 -n^{3}-2n^{2}-2n}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}=
\frac{-n^{2}-n+1}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}\approx
\frac{-(n-1,62)(n-0,06)}{(n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)}
\\

\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ (n^{2}+2n+2)(n^{2}+1)>0\\
\forall_{n\in\mathbb{N}}\ \ -(n-1,62)(n-0,06)}\)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: Tristan » 5 sie 2007, o 11:27

Nie rozumiem po co to przybliżenie soku11. Przecież \(\displaystyle{ -n^2 -n+1 1q 1}\).

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: soku11 » 5 sie 2007, o 13:05

A tak wpisalem te przyblizenia, zeby bylo wiadomo, ze miejsca zerowe nie naleza do naturalnych POZDRO

mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: mardi4 » 5 sie 2007, o 20:20

dzieki

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 558
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: JHN » 10 sie 2007, o 00:36

Tristan pisze:Tutaj nie masz żadnej funkcji tylko ciąg....
Pamiętajmy, że ciąg jest funkcją. Określoną na zbiorze liczb całkowitych dodatnich -ciąg nieskończony (albo zbiorze początkowych liczb całkowitych dodatnich - ciąg skończony) ale jednak funkcją!

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Monotoniczność i ograniczoność

Post autor: Tristan » 10 sie 2007, o 01:11

Oczywiście nieprecyzyjnie się wyraziłem. Chciałem jedynie pisząc tamto zaznaczyć, że mamy konkretnie do czynienia z ciągiem.

ODPOWIEDZ