Matematyka.pl

Punkty \(\displaystyle{ A=\left( 0,0,0\right),B=\left( 4,0,0\right),C,}\) oraz \(\displaystyle{ D=\left( 2,1,0\right)}\) są kolejnymi wierzchołkami jednej z podstaw graniastosłupa, będącej równoległobokiem. Punkt \(\displaystyle{ A'=\left( 1,1,3\right)}\) jest takim wierzchołkiem drugiej podstawy dla którego odcinek \(\displaystyle{ AA'}\) jest krawędzią boczną graniastosłupa. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Objętość obliczyłem bez większych problemów, natomiast mam problem z polem, co się sprowadza do tego, że nie wiem jak wyznaczyć najprościej wysokość ścian bocznych będących równoległobokami. Wiem, że można to zrobić przy pomocy iloczynu wektorowego i w ten sposób dostaję dobrą odpowiedź jednak chciałbym zobaczyć rozwiązanie przy pomocy zwykłych "szkolnych metod".

1. piszesz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty - krawędź boczna;
2. z przeciwległego wierzchołka - równanie prostej prostopadłej do prostej - określonej w p. 1, przechodzącej przez dany punkt ( wierzchołek );
3. obliczasz punkt przecięcia i długość odcinka.

Każda ściana jest równoległobokiem złożonym z dwóch przystających trójkątów.

\(\displaystyle{ P=4\left( P _{\Delta _{ ABD}}+P _{\Delta_{ AA'B}} +P _{\Delta_{ AA'D}} \right)}\)
Wszystkie krawędzie trójkątów umiesz wyliczyć ze wzoru na odległość między dwoma punktami, więc i pola trójkątów o znanych bokach wyliczysz także.

florek, a jak będzie wyglądało równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni?

kerajs ze wzoru Herona? Ze wzoru Herona wychodzą dość ciężkie rachunki.

Dario1 pisze:kerajs ze wzoru Herona? Ze wzoru Herona wychodzą dość ciężkie rachunki.

Dlatego tak wygodnym jest stosowanie iloczynu wektorowego.

1. Zaletą wzoru Herona jest brak dodatkowych przekształceń. Błąd jaki możesz tu popełnić może być tylko rachunkowy, a nie merytoryczny.

2. Aby zastosować wzór \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah}\) wylicz wysokość z układu równań :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+h^2=b^2 \\ (a-x)^2+h^2=c^2 \end{cases}}\)

3.\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab \sin \gamma =\frac{1}{2} ab \sqrt{1- \cos ^2 \gamma}=\frac{1}{2} ab \sqrt{1- \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) ^2}}\)
A jakbyś wciągnął \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ab}\) pod pierwiastek to co otrzymasz?

4.
Inne, rzadziej stosowane (czyli bardziej czasochłonne) sposoby.

Ok, ale co jest czym w tym układzie równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+h^2=b^2 \\ (a-x)^2+h^2=c^2 \end{cases}}\)
oraz w tej równości:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab \sin \gamma =\frac{1}{2} ab \sqrt{1- \cos ^2 \gamma}=\frac{1}{2} ab \sqrt{1- \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) ^2}}\)

wpisz do przeglądarki: "prosta przechodząca przez dwa punkty w przestrzeni" i masz dużo materiału.

A czy istnieje wzór na pole trójkąta z wyznaczników, w przestrzeni XYZ ? bo z tego by było łatwo policzyć pola boczne.
Już mam...moim zdaniem, tak najłatwiej by bylo to zrobić

florek, a jak napisać równanie prostej prostopadłej do prostej przechodzącej przez dany punkt?

Wciąż interesują mnie te równania, które napisał kerajs, bo dalej nie wiem co w nich jest czym, aczkolwiek wygląda to ciekawie.

Co do korzystania z iloczynu wektorowego, to zadanie staje się bardzo proste, kiedy policzymy pola ścian graniastosłupa z wyznaczenia wektorów między krawędziami ścian graniastosłupa i policzenia ich iloczynu wektorowego co daje pole.

Co do wzoru Herona, to bardziej przekonuje mnie argument, że jest to "szkolny" wzór, czego raczej nie da się powiedzieć o iloczynie wektorowym(chyba). Zadanie jest jednak ze szkoły średniej, więc powinno się je zrobić raczej mało wyszukanymi metodami.

To jeszcze pytanie z jakiego roku jest zbiór zadań.
Popatrzyłam na zbiór zadań dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne z roku 2000 i tam jak najbardziej są zadania z wykorzystaniem wektorów w XYZ.
Poza tym, zadanie zrobione poprawnie metodą wykraczającą poza program szkoły średniej jest zaliczane z max ilością punktów.
Więc warto niektóre łatwe sposoby poznać.

To dość stara książka, wydanie 1993/1995.

No to z pewnością jest tam więcej zadań z wykorzystaniem wektorów w XYZ, w geometrii analitycznej, lub jeśli to podręcznik, to powinien być osobny rozdział z wektorami.

Jest rozdział z wektorami, ale nie ma wprowadzonego iloczynu wektorowego.