Asymptoty i ekstrema funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
mardi4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 25 lis 2006, o 11:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom

Asymptoty i ekstrema funkcji

Post autor: mardi4 » 4 sie 2007, o 08:33

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania:

Wyznacz dziedzinę, asymptoty, i ekstrema o ile istnieją funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Asymptoty i ekstrema funkcji

Post autor: setch » 4 sie 2007, o 11:46

\(\displaystyle{ D: \frac{x^3}{x-1} >0 \wedge x \neq 1\\
x^3(x-1) >0 x\neq 1\\
x\in (0;1)\\
f(x)=\sqrt{g(x)}\\
g(x)=\frac{x^3}{x-1}\\
\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(x)}{dg(x)} \frac{dg(x)}{x}= \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1)^2}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{x-1}}} \frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2}}\)

Aby wyznaczyć ekstreme wystarczy porownac pochodna do zera, nie wydaje sie to ciekawym zadaniem . Asymptot poziomych ani ukośnych nie ma, ponieważ dziedzina jest ograniczona, zatem wystarczy sprawdzic pionowe.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{x^3}{x-1}}=0\\
\lim_{x \to 1^-} \sqrt{\frac{x^3}{x-1}}=+\infty}\)

Zatem istnieje jedna asymptota pionowa lewstrona \(\displaystyle{ x=1}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 559
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Asymptoty i ekstrema funkcji

Post autor: JHN » 10 sie 2007, o 01:10

@setch Mylisz się :smile: , albo chcesz ... :evil:
\(\displaystyle{ D=\{x\in R; \frac{x^3}{x-1} \ge 0 \wedge x \neq 1\}=[(-\infty,0>\cup(1,+\infty)]}\)

Rachunek granic powinien (nie liczyłem!) doprowadzić do asymptoty pionowej prawostronnej \(\displaystyle{ x=1}\) i asymptot ukośnych - ramion wykresu \(\displaystyle{ y=|x-{1\over2}|}\)

Ekstrema powinniśmy znaleźć (nie liczyłem! wnioskuję z obliczeń @setch) dla \(\displaystyle{ x=0}\) (min) i dla \(\displaystyle{ x={3\over2}}\) (min)

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ