3 zadania

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
piotre20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 26 cze 2007, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

3 zadania

Post autor: piotre20 » 3 sie 2007, o 22:47

Bardzo prosze o rozwiązanie tych zadań


1. Znaleźć całkę ogólną równania:

\(\displaystyle{ y"+2y'+2y=5\sin2x}\)

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różnicowego:

\(\displaystyle{ y_{n+2}+y_{n}=cos\frac{n\pi}{2}}\)

3. Obliczyć:

\(\displaystyle{ \iiint\limits_{V}\frac{xydxdydz}\sqrt{x^2}+{y^2}+{z^2}}\) gdzie

\(\displaystyle{ V=\lbrance(x,y,z)\in{R^3} :\quad 1\leqslant{x^2+y^2+z^2}\leqslant2\quad\wedge\quad{x}\geqslant{0}\quad\wedge\quad{y}\geqslant{0}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

3 zadania

Post autor: luka52 » 4 sie 2007, o 11:49

ad 1.
Rozwiąż równanie jednorodne, a następnie zastosuj metodę uzmienniania stałych.

ad 3.
Oblicz całkę we współrzędnych sferycznych http://pl.wikipedia.org/wiki/Układ_wspó ... ferycznych .

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

3 zadania

Post autor: Kasiula@ » 4 sie 2007, o 14:02

ad.2.
Dane równanie można zapisac:
\(\displaystyle{ (E^{2}+1)y_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),gdzie \(\displaystyle{ E(y_{n})=y_{n+1}}\)
Rozwiąż równanie jednorodne, czyli wyznaczasz z równania charakterystycznego pierwiastki.
Otrzymujesz wówczas rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2}}\)
Nastepnie wyznaczasz anihilator N(E) funkcji odpowiadającej za niejednorodność \(\displaystyle{ g_{n}= \cos \frac{n \pi}{2}}\),czyli:
\(\displaystyle{ N(E)( \cos \frac{n \pi}{2})=0}\) stąd otrzymujem,że \(\displaystyle{ N(E)=E^{2}+1}\)
Dalej wyznaczamy rozwiązanie szczególne:
\(\displaystyle{ N(E)y(n)=0}\) stąd z rownania charakterystycznego otrzymujemy te same pierwiastki co w równaniu jednorodnym wyjściowego równania. Dlatego tez musimy rozwiązać następujące równanie:
\(\displaystyle{ N(E)(y_{n+2}+y_{n})=N(E)(E^{2}+1)y_{n}=0}\). Pierwiastki równania charakterystycznego są dwukrotne i równają się: i, -i. Tworza one następujący układ fundamentalny:
\(\displaystyle{ FUR=\{\sin \frac{n \pi}{2}, n \sin \frac{n \pi}{2}, \cos \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\). Odrzucamy z niego te elementy,który wystąpiły w rozwiązaniu równania jednorodnego,czyli nasz FUR będzie miał postac:
\(\displaystyle{ FUR=\{n\sin \frac{n \pi}{2}, n \cos \frac{n \pi}{2} \}}\)
Stąd rozwiązanie szczególne ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}=C_{3}n \sin \frac{n \pi}{2} + C_{4} n \cos \frac{n \pi}{2}}\)
Podstawiając do wyjściowego równania otrzymujemy,że \(\displaystyle{ C_{3}=0, C_{4}=-\frac{1}{2}}\)
Czyli rozwiązanie szczególne ma postac \(\displaystyle{ y_{n}=-\frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)

Ostatecznie rozwiązanie danego równania ma postac:
\(\displaystyle{ y_{n}= C_{1}\sin \frac{n \pi}{2}+ C_{2}\cos \frac{n \pi}{2} - \frac{1}{2}n \cos \frac{n \pi}{2}}\)


Pozdrawiam

ODPOWIEDZ