Matematyka.pl

Moi drodzy. Czy tą nierówność dla \(\displaystyle{ a,b \in R}\) da radę udowodnić jakoś z ciągów jednakowo monotonicznych?
\(\displaystyle{ a^n+b^n \ge a^{n-1}b+b^{n-1}a}\). Przy odpowiednich założeniach o \(\displaystyle{ a,b}\)tak ale mnie interesuje powyższe założenie. Nie wiem jakie dać założenie o \(\displaystyle{ n}\) aby nierówność była jak najbardziej ogólna.

Nierówność nie zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\) oraz \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Np. \(\displaystyle{ n=3,a=-1,b=0}\).

Sensowne założenie to \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\). Wtedy dałoby się to zrobić z użyciem funkcji wypukłych. Albo za pomocą własności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+\frac{1}{x}}\) i wtedy wystarczyłoby, żeby \(\displaystyle{ a,b}\) były identycznych znaków.

Natomiast dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) ciągi jednakowo monotoniczne oczywiście są własciwym narzędziem.

Również dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych i dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\)

Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.

Ponewor pisze:Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.

co sprowadza zadanie do tego samego: pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a^{n-1},b^{n-1})}\) maja być tak samo uporządkowane. A to prowadzi do wniosku jak wyżej... (argument jest ważny dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ n\geq 1}\)

Sprowadza się, miałem na myśli jedynie tyle, że zużywa najmniej mądrych słów.

Ponewor pisze:Sprowadza się, miałem na myśli jedynie tyle, że zużywa najmniej mądrych słów.

Niby tak, ale jak przeczytasz pierwszy post, to zauważysz, że autor nie pytał jak udowodnić, tylko czy da sie to zrobić przy pomocy twierdzenie o ciągach monotonicznych

Dzięki wielkie , święta były to nie wchodziłem.

a4karo pisze:

Ponewor pisze:Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.

co sprowadza zadanie do tego samego: pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a^{n-1},b^{n-1})}\) maja być tak samo uporządkowane. A to prowadzi do wniosku jak wyżej... (argument jest ważny dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ n\geq 1}\)

Do tego właśnie doszedłem.

A Jensena i wypukłości funkcji jeszcze się nie uczyłem ale ogarnę. Widzę że mocne narzędzie.