Całka z funkcji homograficznej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: sparrow_88 » 3 sie 2007, o 17:22

Podobnie jak w poprzednim temacie otrzymuję inny wynik całki:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{1}{x}dx}\)
ja dochodzę do:
\(\displaystyle{ -2\cdot \ln\left( \frac{2x}{1+x}\right) +4\arctg\left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C}\)
a autorowi wyszło:
\(\displaystyle{ \ln(1-\sqrt{1-x^2})-\ln(x)-\arcsin(x)+C}\)
stosuję podstawienie: \(\displaystyle{ u^2=\frac{1-x}{1+x}}\) z czego mam: \(\displaystyle{ x=\frac{1-u^2}{u^2+1}}\) i \(\displaystyle{ dx= \frac{-4u}{(u^2+1)^2}du}\)
tak jak ostatnio proszę o sprawdzenie mojego wyniku i o naprowadzenia na rozwiązanie autora
Ostatnio zmieniony 3 sie 2007, o 20:37 przez sparrow_88, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: Kasiula@ » 3 sie 2007, o 18:09

Zgodnie z Twoim podstawieniem otrzymujemy całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{4u^{2}}{(u-1)(u+1)(u^{2}+1)}du= t \frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}+\frac{2}{u^{2}+1}du = \ln|u-1|-\ln|u+1|+2arctg(u)+C= ln|\frac{u-1}{u+1}|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C= \ln|\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C= \ln|1-\sqrt{1-x^{2}}| - \ln|x|+2arctg(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})+ C}\)

Nie wiem co zrobic z tym arctg,są na to wzory. Niestety nie mam tablic pod reką,a na pamiec ich nie znam Jeśli masz wzor na przejscie z arctg na arcsin to powinno sie udac dojs do wlasciwego wyniku. Nie pokoi mnie ta 2 przed arctg ??: Szukalam bledu,ale nie znalazlam. A moze ona powinna tam byc??? Moze zredukuje sie po podstawieniu wzorow na arcsin. Bede szukac bledu,ale poki co to przesylam Ci to co mi wyszlo.

Pozdrawiam

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: Rogal » 3 sie 2007, o 18:11

Ludziska - jeśli po zróżniczkowaniu wychodzi funkcja podcałkowa, to dajcie spokój, że inne postacie wychodzą, to normalne przecież jest : )

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: luka52 » 3 sie 2007, o 18:53

Osobiście nie stosowałbym takiego podstawienia. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x \sqrt{1- x^2}} = \\ = \frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
I teraz dopiero należy zacząć całkować.

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: sparrow_88 » 4 sie 2007, o 13:10

Sparwdziłem jeszcze dwa razy różniczkę podstawienia, rozkład na ułamki proste i przekształcenia i chyba masz błąd Kasiula@ bo u mnie tak to wygląda:
\(\displaystyle{ \int\frac{-4u^2}{(1-u)(1+u)(u^2+1)}dx=-2\int\frac{1}{1-u}du-2\int\frac{1}{1+u}du+4\int\frac{1}{u^2+1}du}\)
co prowadzi do wyniku który podałem wcześniej, tak jakbyś zgubiła ten minus; wiem że to normalne sam się o tym przekonałem, dlatego chciałbym żeby jednak ktoś spradził czy z moim podstawieniem otrzyma to samo, a z całką Luka52 jeszcze sobie nie poradziłem ??:

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: luka52 » 4 sie 2007, o 13:44

Kasiula@, przedstawiła poprawne rozwiązanie (a jeżeli ktoś wciąż ma wątpliwości niechaj zróżniczkuje wynik!).
sparrow_88, sprawdź swój rozkład na sumę ułamków prostych jeszcze raz.

Awatar użytkownika
rtuszyns
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: rtuszyns » 4 sie 2007, o 23:55

Można tak:
\(\displaystyle{ \int\frac{4u^2}{(u-1)(u+1)(u^2+1)}du=\dots =4\left[\int\frac{du}{u^2-1}-\int\frac{du}{u^4-1}\right]=-4\int\frac{du}{1-u^2}+4\int\frac{du}{1-u^4}=\dots =\ln\left |\frac{1-u}{1+u}\right |+2\arctan u+{\cal C}_1=\dots}\)
Więc rozumowanie i obliczenia Kasiula@ są prawidłowe

Awatar użytkownika
sparrow_88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 29 lis 2006, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Błaszki\Wrocław
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Całka z funkcji homograficznej

Post autor: sparrow_88 » 5 sie 2007, o 19:39

no wiem, że są poprawne; nie kopcie już leżącego znalazłem mój, jak zwykle, głupi błąd

ODPOWIEDZ