Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
czachur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: czachur » 3 sie 2007, o 13:52

Wyznacz m, tak aby jeden z pierwiastków równania \(\displaystyle{ (m-2)x^{2}-mx+1=0}\) należał do przedziału \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

Chodzi mi głównie o założenia. Czy trzeba rozpatrywać to w 2 sytuacjach, czy da się to jakoś zapisać na 1? Mi niestety nic nie wyszło...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: Kostek » 3 sie 2007, o 14:16

Dla \(\displaystyle{ m=2}\) pierwiastek zawiera sie w przedziale\(\displaystyle{ (-1;1)}\)
I teraz wydaje mi sie ze wystarcza takie zalozenia:
Mamy \(\displaystyle{ f(1)=-1}\) oraz \(\displaystyle{ f(-1)=2m-1}\).
Jezeli w pkt 1 mamy ujemna wartosc to wystarczy aby w pkt -1 byla wartosc dodatnia czyli \(\displaystyle{ m>\frac{1}{2}}\)

sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: sztuczne zęby » 3 sie 2007, o 14:37

Na początek rozważam przypadek funkcji kwadratowej.

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 2 \\f(-1)>0 \\ f(1) \begin{cases} m 2 \\f(-1)0\end{cases}}\)

No i pozostaje sprawdzić co się dzieje dla m=2. Wychodzi x=0,5. Więc ten przypadek także spełnia warunki zadania.

czachur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: czachur » 3 sie 2007, o 14:40

sztuczne zęby pisze:Na początek rozważam przypadek funkcji kwadratowej.

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 2 \\f(-1)>0 \\ f(1) \begin{cases} m 2 \\f(-1)0\end{cases}}\)

No i pozostaje sprawdzić co się dzieje dla m=2. Wychodzi x=0,5. Więc ten przypadek także spełnia warunki zadania.
dokładnie takie same założenia dałem na początku, ale jakoś nie chciało mi wyjść.. Bynajmniej nie tak, jak jest w wyniku. Mógłbyś zrobić parę kroczków dalej, abym sprawdził, gdzie robiłem źle?

sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: sztuczne zęby » 3 sie 2007, o 14:44

\(\displaystyle{ f(-1)=2m-1 \\
f(1)=-1}\)


I teraz z pierwszego założenia wychodzi \(\displaystyle{ m>\frac{1}{2}}\), a z drugiego sprzeczność bo wychodzi tam \(\displaystyle{ -1 > 0}\).
Czyli odpowiedź taka sama jak w rozwiązaniuKostek, .

czachur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: czachur » 5 sie 2007, o 12:21

Witam! Mam przykład podobny, ale jednak pewną wątpliwość.

Jest funkcja \(\displaystyle{ x^{2}-mx+(3m-5)=0}\) i 1 z pierwiastków ma należeć do \(\displaystyle{ (0;1)}\)

No więc założenia mają być takie same jak w przykładzie powyżej, oczywiście uwzględniając inny przedział. Wychodzi mi że:

\(\displaystyle{ f(0)=3m-5}\)
\(\displaystyle{ f(1)=2m-4}\)

U ta ma wątpliwość. Mogę założyć, że \(\displaystyle{ f(0)>f(1)}\) i uwzględnić tylko jeden przypadek, gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0)>0\\f(1)}\)

sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: sztuczne zęby » 5 sie 2007, o 17:43

Według mnie to będzie bardzo podobnie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(0)0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta>0 \\ f(0)>0 \\ f(1) 0 \\ f(0) f(1)}\)

czachur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: czachur » 5 sie 2007, o 18:00

ale wtedy(gdyby liczyć Twoje pierwsze założenie) wychodzi, że

\(\displaystyle{ m\in(-\infty;\frac{5}{3})\cup(2;6-\sqrt{6}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)

sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: sztuczne zęby » 5 sie 2007, o 23:16

To chyba coś liczysz. Od razu poprawię swój błąd, gdyż oczywiście jedno z miejsc zerowych może być równo 0 lub 1 a warunki zadania będą dalej spełnione.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ f(0)\leqslant 0 \\ f(1)>0 \end{cases} \vee \begin{cases} \Delta>0 \\ f(0)>0 \\ f(1)\leqslant 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \Delta >0 \Leftrightarrow x \in (- \infty ; 2) \cup (10; \infty)}\)

Z pierwszwego przypadku wychodzi sprzeczność, a z drugiego przedział \(\displaystyle{ ( \frac{3}{5} ; 2 >}\)


Co po wzięciu części wspólnej z deltą daje chyba ten wynik o który Ci chodziło.

czachur
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 3 sie 2007, o 12:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Połaniec/Sandomierz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie z parametrem(tylko 1 pierwiastek w przedziale)

Post autor: czachur » 6 sie 2007, o 08:02

ajajaj, tak to jest jak się liczy delte na szybko.. Dzięki wielkie , rozumiem już wsio

ODPOWIEDZ