Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n ^{2}+4n-8}\) jest kwadratem liczby naturalnej?

Uzupełnij do kwadratu, rozłóż i zanalizuj.

Jak ma wyglądać ten rozkład?

Rozkład nie jest potrzebny (ani możliwy), ale można zauważyć, że różnica pomiędzy dwoma kolejnymi kwadratami staje się od pewnego miejsca większa niż \(\displaystyle{ 12}\), dlatego wystarczy rozważyć tylko kilka przypadków.

Zapisać w postaci kanonicznej powyższy trójmian. Otrzymamy, że \(\displaystyle{ (n+2)^2-12=k^2}\)wystarczy rozwiązać równanie diofantyczne tworząc różnicę kwadratów.

Cos mi się przysniło: widziałem \(\displaystyle{ +8-16}\) zamiast \(\displaystyle{ +4-12}\).
Sposób Zordona szybko prowadzi do wyniku.

Znaczy sposób Zordona widziałem jednak mi się on nie podoba. Fajniej jest rozwiązać to równanie diofantyczne Kartezjusza. Wtedy wszystko ładnie wychodzi.