Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a^2 + 2 \equiv 0 \ ( \mod \ p)}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ p}\) lub \(\displaystyle{ 2p}\) jest w formie \(\displaystyle{ x^2+ 2y^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a, x, y \in N}\) zaś \(\displaystyle{ p}\) jest piewsza.

Taki szkic nieformalny:

niech z założenia:

\(\displaystyle{ a^2=-2}\)

badamy reszty kwadratowe:

czyli:

\(\displaystyle{ \left( \frac{-2}{p} \right)=\left( \frac{-1}{p} \right)\left( \frac{2}{p} \right)=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }(-1)^{ \frac{p^2-1}{8} }=(-1)^{ \frac{p^2+4p-5}{8} }}\)

jak podstawimy za\(\displaystyle{ p=x^2+2y^2}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ (-1)^{ \frac{x^4+4x^2y^2+4y^4+4x^2+8y^2-5}{8} }=1}\)

I teraz widać, że czy \(\displaystyle{ x, y}\) będzie parzyste czy nieparzyste to wynik będzie jeden czyli \(\displaystyle{ p-2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\)


Kwestia jest taka czy mogą być p jeszcze innej postaci niż ta!

^Dowód przez założenie tezy, świetny.

arek1357, czy mógłbyś się czasem zastanowić co wypisujesz na tym forum? Bo na ogół jest to zupełnie niepoukładany bełkot, przywodzący na myśl raczej upojenie alkoholowe, niż matematyczne uniesienia. Mógłbym Cię prosić o ład i klarowność w Twoich postach?

Oto jak się zaczyna rozwiązanie:
Weźmy zbiór liczb postaci \(\displaystyle{ ay-x}\), gdzie \(\displaystyle{ x, \ y, \le \left[\sqrt{p}\right]}\) i dalej z zasady szufladkowej Dirichleta.

Skąd wiemy, że złapiemy \(\displaystyle{ 0}\)? Przecież możliwości dobrania \(\displaystyle{ x, y}\)mamy mniej niż \(\displaystyle{ p}\), ponieważ \(\displaystyle{ \left[ \sqrt{p} \right] ^2 \le ( \sqrt{p} )^2 =p}\)

arek1357, czy mógłbyś się czasem zastanowić co wypisujesz na tym forum? Bo na ogół jest to zupełnie niepoukładany bełkot, przywodzący na myśl raczej upojenie alkoholowe, niż matematyczne uniesienia. Mógłbym Cię prosić o ład i klarowność w Twoich postach?

Jeśli moje posty powstają przez upojenie alkoholowe to ten Twój cytat chyba już jedzie na mocnym spidzie lub innych dopalaczach!

Bo ja zdaję sobie sprawę że w tym przypadku ciut odwróciłem tezę ale Ty chyba sobie nie zdajesz sprawę z tego co wypisujesz!

arek1357 pisze:Jeśli moje posty powstają przez upojenie alkoholowe to ten Twój cytat chyba już jedzie na mocnym spidzie lub innych dopalaczach!

Ja Cię tylko poprosiłem (jako kolega użytkownik, nie jako moderator) i nie zamierzam się dalej kłócić, na pewno nie tutaj. Weź tylko pod uwagę, że średnio w każdej Twojej wypowiedzi (z ostatnich które przejrzałem), pojawia się ponad jeden wykrzyknik, to daje do myślenia.

Kartezjusz, \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mogą przybierać wartości z zakresu \(\displaystyle{ 0, \ 1, \ \ldots, \left[ \sqrt{p}\right]}\), czyli możliwości ich wyboru jest \(\displaystyle{ \left(\left[ \sqrt{p}\right]+1\right)^{2}>p}\).

Wesołych Świąt wszystkim!