Zadanie na dowodzenie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Kichu

Zadanie na dowodzenie

Post autor: Kichu » 2 sie 2007, o 18:48

Witam serdecznie,

napotkałem problem z zadaniem z dowodzenia. Szukałem zarówno na google, jak i w serwisie, jednak nie znalazłem niczego, co mogłoby mi pomóc. Proszę o naprowadzenie na właściwy tok rozwiązywania:

Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego wielomian \(\displaystyle{ x^{4n-2} + 1}\) jest podzielny przez trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ x^2 + 1}\)

Dodam, że jest to zadanie z kursu korespondencyjnego z politechniki wrocławskiej, dokładnie pierwsze zadanie z listopada 1999.

Pozdrawiam serdecznie,
kichu
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: Kostek » 2 sie 2007, o 19:46

Wielimian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+1=(x-i)(x+i)}\) teraz wystarczy sprawdzic czy dla liczb \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{4n-2}+1}\) sie zeruje. Jeszcze mozna dodac ze \(\displaystyle{ i^{4n}=1}\) oraz \(\displaystyle{ (-i)^{4n}=1}\)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: liu » 2 sie 2007, o 20:05

Proponuje sie zastanowic, jak to zrobic bez uzywania liczb zespolonych:)

Kichu

Zadanie na dowodzenie

Post autor: Kichu » 2 sie 2007, o 21:10

O wow
Prawdę mówiąc, liczby zespolone, poza \(\displaystyle{ i}\) nic mi nie mówią. To potwierdza, że metod w matematyce jest wiele . Ale na pewno da się to zrobić w jakiś sposób z poziomu liceum, tak jak kolega wyżej podpowiedział.

Niemniej jednak dziękuję za chęci. Problem, przynajmniej dla mnie, nadal jest nierozwiązany

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: palazi » 2 sie 2007, o 21:20

No chociażby w ten prosty sposób:
\(\displaystyle{ t = x^2 + 1}\) więc: (mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ t | x^{4n-2} + 1}\)
\(\displaystyle{ x^{4n-2} + 1 = (x^2)^{2n-1} + 1 = (t - 1)^{2n-1} + 1}\)
Teraz ropzpisz z dwumianu Newtona i widac, ze "t" można wyciagnąc przed nawias wiec jest podzielne.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: max » 2 sie 2007, o 22:41

Albo wprost ze znanego wzorku:
\(\displaystyle{ a^{2n - 1} + b^{2n - 1} = (a + b)\left(a^{2n - 2} - a^{2n - 3}b + a^{2n - 4}b^{2} - \ldots + b^{2n - 2}\right)\\
ft(\left(x^{2}\right)^{2n - 1} + 1\right) = ft(x^{2} + 1)(x^{4n - 4} - x^{4n - 6} + \ldots + 1\right)}\)

sztuczne zęby
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 623
Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ..
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 110 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: sztuczne zęby » 3 sie 2007, o 14:57

Można jeszcze zrobić to zadanie korzystając z indukcji matematycznej.
Dla n=1 jest to oczywiste.

Później mamy założenie \(\displaystyle{ x^{4k-2}+1=W(x)(x^2+1)}\)
No i tezę \(\displaystyle{ x^{4k+2}=T(x)(x^2+1)}\)

T(x) i W(x) są dowolnymi wielomianami. No i pozostaje teraz do przeprowadzenia tylko banalny dowód.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zadanie na dowodzenie

Post autor: max » 3 sie 2007, o 18:11

Tam jedynkę zjadłeś... no i trochę przesadziłeś z tą dowolnością:
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{x^{4k - 2} + 1}{x^{2} + 1}\\
T(x) = x^{4}\cdot W(x) - x^{2} + 1}\)

więc \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ T}\) są jak najbardziej ustalone.

Kichu

Zadanie na dowodzenie

Post autor: Kichu » 3 sie 2007, o 20:27

Dziękuję wszystkim serdecznie. Bardzo mi pomogliście!

ODPOWIEDZ