Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Lukasz02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 sie 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 1 raz

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: Lukasz02 » 2 sie 2007, o 18:44

Witam.

Mam taki mały problem z modułem różnicy liczb. Jest takie coś:
\(\displaystyle{ e^{jw}-e^{-1}}\).
Mam wyliczyć z tego moduł. Jak za to się zabrać? Rozłożyć e^jw na postać trygonometryczna cos(ω)+jsin(ω) i odjąć od tego e^-1 czyli 0.37? Hm... Sam już nie iwem jak do tego podejść. Proszę nakierujcie mnie.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: luka52 » 2 sie 2007, o 18:49

\(\displaystyle{ |e^{iw} - e^{-1}| = |(\cos w - e^{-1}) + i \sin w| = \sqrt{(\cos w - e^{-1})^2 + \sin^2 w} = \frac{\sqrt{1+e^2 - 2e \cos w}}{e}}\)

Lukasz02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 sie 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 1 raz

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: Lukasz02 » 2 sie 2007, o 19:01

Dziękuję za szybką odpowiedź. Mam jeszcze jedno pytanie
luka52 pisze:
\(\displaystyle{ \sqrt{(\cos w - e^{-1})^2 + \sin^2 w} = \frac{\sqrt{1+e^2 - 2e \cos w}}{e}}\)
Mógłbyś mi napisać po kolei przekształcenia jakie robiłeś w tym miejscu?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: luka52 » 2 sie 2007, o 19:35

\(\displaystyle{ \sqrt{(\cos w - \frac{1}{e})^2 + \sin^2 w} = \sqrt{\cos^2 w - \frac{2 \cos w}{e} + \frac{1}{e^2} + \sin^2 w} = \sqrt{1 - \frac{2 \cos w}{e} + \frac{1}{e^2}} =\\ = \sqrt{\frac{e^2 - 2e \cos 2 + 1}{e^2}} = \frac{\sqrt{1 + e^2 - 2e\cos w}}{e}}\)

Lukasz02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 sie 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 1 raz

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: Lukasz02 » 2 sie 2007, o 19:51

Dzięki za szybką odpowiedź! Mam jeszcze jedno zadanie i problem...
\(\displaystyle{ e^{jw}-2e^{-jw}}\)
Też chcę z tego policzyć moduł.
Jak do tego podejść? Ewentualnie czy mógłby mi ktoś wyliczyć to?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Moduł z różnicy (liczby zespolone)

Post autor: max » 2 sie 2007, o 22:46

Też możesz zamienić na postać trygonometryczną, np:
\(\displaystyle{ e^{-jw} = e^{j\cdot (-w)} =\cos (-w) + j\sin (-w) = \cos w - j\sin w}\)
itd...

ODPOWIEDZ