taki tam szereg:)

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
x_x_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bartoszyce
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4 razy

taki tam szereg:)

Post autor: x_x_x » 2 sie 2007, o 14:41

potrzebuję zbadać zbieżność takiego oto szeregu, ale generalnie anal u mnie leży to jakoś nie bardzo sam daję radę :/
\(\displaystyle{ \left.\sum_{n=0}^{\infty}\right.\frac{e^{n}n!}{n^{n}}}\)
Z gróry dzięki za pomoc:)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

taki tam szereg:)

Post autor: Kostek » 2 sie 2007, o 15:09

Mozna skorzystac np ze wzoru Stirlinga oraz kryterium porównawczego
oznaczmy nasz szereg jako \(\displaystyle{ S}\) i stosujac wzór Stirlinga:
\(\displaystyle{ e^{n}\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}}{n^n}e^{\frac{1}{12n+1}}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

taki tam szereg:)

Post autor: max » 2 sie 2007, o 15:51

Można też elementarnie skorzystać z kryterium d'Alemberta:
\(\displaystyle{ \mathcal{D}_{n} = \frac{\frac{e^{n + 1}\cdot (n + 1)!}{(n + 1)^{n+1}}}{\frac{e^{n}\cdot n!}{n^{n}}} = \frac{e\cdot (n + 1)}{(n + 1)\cdot \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}} = \frac{e}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ \left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n}}\) dąży do \(\displaystyle{ e}\) rosnąc, to będzie dla każdego \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \left(1 + \tfrac{1}{n}\right)^{n} 1\\
\mathcal{D}_{n} > 1}\)

czyli szereg jest rozbieżny.

x_x_x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 maja 2007, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bartoszyce
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4 razy

taki tam szereg:)

Post autor: x_x_x » 3 sie 2007, o 14:15

ok dzięki za pomoc ))

ODPOWIEDZ