[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: wielkireturner » 17 gru 2015, o 04:48

Zadanie 5 z 65 OM etap I. Link z rozwiązaniem http://www.om.edu.pl/sites/default/file ... m65-1r.pdf

Próbowałem zrobić je tak:
Z badania funkcji mamy \(f(0)=0 \wedge f(c)=-f(-c)\).
\(f(a+b)^{3} -f(a)^{3} -f(b)^{3} -3f(b)f(a)f(a+b)= \left( f(a+b)-f(a)-f(b) \right) \cdot \left( f(a+b)^{2} +f(a)^{2}+f(b)^{2}+f(a+b) \cdot f(a) - f(a) \cdot f(b) + f(b) \cdot f(a+b) \right) = 0\)

Zatem albo I czynnik jest równy zero, albo drugi. Zakładając przez chwilę, że \(f\) jest funkcją ciągłą, mamy dla I czynnika równego zero, że \(f(n)=dn, d \in C - \left\{ 0\right\}\). Teraz dla drugiego czynnika równego zero dla \(b= 0\) mamy \(3f(a)^{2}=0\), zatem ogólna postać funkcji spełniających równanie to \(f(n)=dn, d \in C\).
Teraz mam pytanie, czy da się otrzymać rozwiązanie dla funkcji nieciągłej bez znacznego rozpisywania się o takiej postaci:
\(\begin{cases} f(n) = 0, n = 3p+3, p \in C \\ f(n) = k, n = 3r+1, r \in C\\ f(n) = -k, n = 3b+1, b \in C \end{cases}\)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: timon92 » 17 gru 2015, o 09:13

Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\mathbb Z\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?

wielkireturner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 403
Rejestracja: 8 lut 2015, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: London ChinaTown

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: wielkireturner » 20 gru 2015, o 13:10

timon92 pisze:Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\mathbb Z\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?
Otoczenie mojej osoby nie jest tak duże, by określać je całym światem.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: timon92 » 20 gru 2015, o 13:49

pytałem o ciągłość, bo okazuje się, że każda funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych jest ciągła (chyba, że rozważasz \(\mathbb Z\) z jakąś dziwną topologią )

tak więc rozumowanie, które przeprowadziłeś (i nie przedstawiłeś tutaj) powołujące się na ciągłość \(f\) ma jakieś błędy

a odpowiedź na pytanie, czy da się otrzymać rozwiązania postaci
\(\begin{cases} f(n) = 0, n = 3p+3, p \in \mathbb Z \\ f(n) = k, n = 3r+2, r \in \mathbb Z\\ f(n) = -k, n = 3b+1, b \in \mathbb Z \end{cases}\)
bez zbytniego rozpisywania się brzmi: nie da się

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: Swistak » 20 gru 2015, o 23:29

wielkireturner pisze:
timon92 pisze:Po pierwsze, zbiór liczb całkowitych na całym świecie oznacza się symbolem \(\mathbb Z\).

Po drugie, co rozumiesz przez "funkcję ciągłą"?
Otoczenie mojej osoby nie jest tak duże, by określać je całym światem.
No właśnie timon, nie mądrzyj się! To że Ty i Twoi koledzy tak nazywacie, to nie znaczy, że od razu cały świat tak lubi ! Posłuchaj Cezika, to może trochę się uspokoisz: https://www.youtube.com/watch?v=UhgG3TUV61c
Poza tym niby taki mądry, a co to funkcja ciągła, to już nie wie

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice

[Równania funkcyjne] Swistak to pała

Post autor: timon92 » 20 gru 2015, o 23:39

doskonale wiem, co to jest funkcja ciągła!

funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy można narysować jej wykres bez odrywania ołówka od kartki

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[Równania funkcyjne] timon92 to wartogłów

Post autor: Swistak » 21 gru 2015, o 01:03

Idąc za Wikipedią: "Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości;", ja bym powiedział, że 4 to jest jeszcze całkiem mało, 5 to jednak trochę już jest, zatem dla \(k \le 2\) chyba powinno być spoko
Ostatnio zmieniony 21 gru 2015, o 16:40 przez Swistak, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

jestem poważnym forumowiczem, ten wątek jest poważny xD

Post autor: Ponewor » 21 gru 2015, o 12:55

ale timon, serio mógłbyś sprawdzić sobie tę definicję ciągłości, zamiast głupio pytać

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

[Równania funkcyjne] funkcja f: C--->C

Post autor: a4karo » 21 gru 2015, o 13:53

timon nie pyta głupio. Użycie argumentu ciągłości w przypadku funkcji określonej na zbiorze dyskretnym świadczy o tym, że autor nie za bardzo kontroluje tok swojego rozumowania.
Pytanie było jak najbardziej zasadne i szkoda, że nie doczekało się rozsądnej odpowiedzi od autora.

ODPOWIEDZ