Równanie różniczkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
jaco83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 sie 2007, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TARNÓW

Równanie różniczkowe

Post autor: jaco83 » 1 sie 2007, o 21:25

Czy wie ktoś jak rozwiązać taką równość

x"+2x'+5x=e-2t gdzie x=x(t) , t€R
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: luka52 » 1 sie 2007, o 22:13

Tak, np. ja wiem.



Ale tak na poważnie, to czy przypadkiem to równanie nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x'' + 2x' + 5x = e^{2t}}\)

jaco83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 1 sie 2007, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: TARNÓW

Równanie różniczkowe

Post autor: jaco83 » 2 sie 2007, o 14:16

No tak masz racje właśnie tak to wygląda. Jeśli wiesz jak to zrobić bo byłbym wdzięczny gdybys mi ponógł to rozwiązać.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: luka52 » 2 sie 2007, o 16:33

Na początek układamy równanie charakterystyczne r. jednorodnego i rozwiązujemy je:
\(\displaystyle{ r^2 + 2r + 5 = 0}\) Rozwiązaniem tego równania jest \(\displaystyle{ r = -1 2 \imath}\)
Mamy zatem: \(\displaystyle{ x_1 = e^{-t} ft( C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t \right)}\)
Następnie aby wyznaczyć całkę szczególną naszego równania posłużymy się metodą uzmienniania stałych; mamy:
\(\displaystyle{ x_2 = A(t) \cos 2t + B(t) \sin 2t}\)
Zachodzą następujące związki:
\(\displaystyle{ A'(t) \cos 2t + B'(t) \sin 2t = 0\\
- 2 A'(t) \sin 2t + 2 B'(t) \cos 2t = e^{2t}}\)

Mając te dwa równania należy wyznaczyć funkcje A i B, jednak to zadanie pozostawiam Tobie. W razie kłopotów - pisz.

ODPOWIEDZ