Pochodne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
dari2876
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radzymin
Podziękował: 3 razy

Pochodne

Post autor: dari2876 » 1 sie 2007, o 15:41

Jak obliczyć takie pochodne?
a) \(\displaystyle{ f(t) = \frac{{\sin t + \cos t}}{{2\sin 2t}}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x) = \ln tg(\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2})}\)
c) \(\displaystyle{ f(x) = \ln \frac{{\sqrt {x^2 + 1} - x}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}}\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 17:13 przez dari2876, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pochodne

Post autor: soku11 » 1 sie 2007, o 16:03

a)
\(\displaystyle{ f'(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{(sint+cost)'sin2t-(sint+cost)(sin2t)'}{sin^{2}2t}=
\frac{(cost-sint)sin2t-(sint+cost)(2cos2t)}{2sin^{2}2t}}\)


Pewnie mozna cos z tym jeszcze zrobic ale zostawie to tak jak jest

c)
\(\displaystyle{ f(x) = \ln \frac{{\sqrt {x^2 + 1} - x}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}}=
f(x) = \ln \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)^{2}}{(\sqrt {x^2 + 1} + x)(\sqrt {x^2 + 1} - x)}=
f(x) = \ln (\sqrt {x^2 + 1} - x)^{2}=2ln(\sqrt {x^2 + 1} - x)\\
f'(x)=2\cdot \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\sqrt {x^2 + 1} - x)'=
\frac{2}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\frac{1}{2\sqrt {x^2 + 1}}\cdot 2x - 1)=
\frac{2}{\sqrt {x^2 + 1} - x}\cdot (\frac{x}{\sqrt {x^2 + 1}} - 1)}\)


Powinno byc OK.
POZDRO
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 16:44 przez soku11, łącznie zmieniany 5 razy.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Pochodne

Post autor: luka52 » 1 sie 2007, o 16:04

b) f'(x) = 0 :)
Czy aby poprawnie przepsiałeś przykład?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pochodne

Post autor: max » 1 sie 2007, o 16:21

a) Można trochę uprościć rachunki:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sin t + \cos x}{2\sin 2t}\right)' = ft(\frac{\sin t + \cos t}{4\sin t\cos t}\right)' =\\
= ft(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\cos t} + \frac{1}{\sin t}\right) \right)' = \frac{1}{4}\left(\frac{\sin t}{\cos^{2}t} - \frac{\cos t}{\sin^{2}t}\right)}\)


c) tak jak policzył soku11 jest OK poza ostatnią równością..

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pochodne

Post autor: soku11 » 1 sie 2007, o 16:45

Poprawilem Nie zauwazylem tej jedynki i dlatego taka glupote napisalem. POZDRO

dari2876
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radzymin
Podziękował: 3 razy

Pochodne

Post autor: dari2876 » 1 sie 2007, o 16:50

przykład b) na pewno jest dobrze przepisany. Ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{cosx}}\) ale nie wiem jak to to rozwiązać żeby taka odpowiedź wyszła. Zadania są z Analizy matematycznej Krysickiego i Włodarskiego.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pochodne

Post autor: max » 1 sie 2007, o 17:02

'Ciekawy' jest ten przykład... \(\displaystyle{ \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = -1}\) i wzór nie ma sensu liczbowego - zapewne kolejny błąd drukarski jakich w Krysickim chyba niemało...
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 17:03 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Pochodne

Post autor: ariadna » 1 sie 2007, o 17:03

dari2876, brakuje i to powiem nawet: x-sa.
Popraw;)

dari2876
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 1 sie 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radzymin
Podziękował: 3 razy

Pochodne

Post autor: dari2876 » 1 sie 2007, o 17:16

Nie zauważyłem, że był jednak błąd. Te zadania miałem na kartce i na niej był błąd. Już go poprawiłem. Sorki

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pochodne

Post autor: max » 1 sie 2007, o 18:00

\(\displaystyle{ \left(\ln \tan ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right)' = \frac{1}{\tan ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2} = \\
= \frac{1}{2\sin ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \cos ft(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{\sin (\frac{\pi}{2} + x)} = \frac{1}{\cos x}}\)

ODPOWIEDZ