Zadanie z parametrem

[szczepanik89]

Dla jakich wartosci parametru m zbiorem wartosci funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (m-4)x^{2} - (2-m)x +1 +0,5m}\) jest zbior \(\displaystyle{ Y_{f}= }\)

[max]

Wykresem musi być parabola (łatwo wykluczyć przypadek \(\displaystyle{ m - 4 = 0}\)) o ramionach 'skierowanych do góry' i współrzędnej \(\displaystyle{ y}\) wierzchołka równej \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\).
Czyli musi być:
\(\displaystyle{ m - 4> 0 \ \wedge \ y_{w} = \frac{5}{4}}\)

[scyth]

znajdujemy punkt przegięcia paraboli (oczywiście m > 4)
\(\displaystyle{ f'(x)=2x(m-4)-(2-m)}\), stąd \(\displaystyle{ x=\frac{(2-m)}{2(m-4)}}\)

musimy znaleźć takie m, żeby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ (2-m)^2=(m-4)}\)
hmm... wychodzi, że nie ma takiego m. Może źle przepisałeś równanie?

[szczepanik89]

[ Dodano: 1 Sierpnia 2007, 15:53 ]
sorka w jednym miejscu m nie zauwazylem;/ ale jak to zrobic?

[Sylwek]

Najpierw przeczytaj dokładniej instrukcję TeX-a, tam jest pokazane jak ładnie pisać ułamki, znak nieskończoności też jest. Rozwiązanie podał Ci już max. Po pierwsze wiemy, że nasza funkcja kwadratowa jest ograniczona od dołu, czyli ma ramiona skierowane do góry - a>0. Po drugie, posiada wartość minimalną i wynosi ona 1,25 - jest to współrzędna igrekowa naszego wierzchołka. Czyli

\(\displaystyle{ a) \ m-4>0 \\ m>4 \\ b) \ y_{w}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4(m-4)(1+\frac{1}{2}m)-(2-m)^2}{4(m-4)} \\ y_{w}={2m^2-4m-16-16-(4-4m+m^2)}{4(m-4)}=\frac{m^2-20}{4(m-4)}=\frac{5}{4} \\ \frac{m^2-20}{m-4}=5 \\ m^2-20=5m-20 \\ m^2-5m=0 \\ m(m-5)=0 \\ ((m=0 \ \vee \ m=5) \ \wedge \ m>4) \ \ m \lbrace 5 \rbrace}\)

Odp: Funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y_{f}=\langle \frac{5}{4}, +\infty)}\) dla m=5.


Edit: Ehh sorki, pospieszyłem się trochę, dzięki max za uważne czytanie, teraz już jest dobrze

[max]

Sylwek - skorzystałeś z wzoru na odciętą wierzchołka, a nam chodzi o rzędną:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = \frac{-\Delta}{4a}}\)

[scyth]

no to teraz (po poprawieniu równania) wyszło mi m=5 - sposobem jaki zaprezentowałem.
Ekstremum jest to samo, zatem po wstawieniu do równani mamy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+1+\frac{m}{2}=\frac{5}{4}}\)
co po uproszczeniach daje:
\(\displaystyle{ \frac{m}{2}-\frac{(2-m)^2}{4(m-4)}=\frac{1}{4} \\
2m(m-4)-(m-2)^2=m-4 \\
m^2-5m=0
m(m-5)=0}\)
A więc rozwiązaniem jest m=5

[max]

Warto zauważyć, że do wyznaczenia tego ekstremum nie potrzeba rachunku różniczkowego:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)}\)
i otrzymujemy taki sam wynik jak w poście powyżej, a to, że:
\(\displaystyle{ x_{w} = -\frac{b}{2a}}\)
wynika z przekształcenia trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ ax^{2} + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}}\)

[JHN]

...znajdujemy punkt przegięcia paraboli..

Według mojej wiedzy parabola nie ma punktów przegięcia!

Pozdrawiam
PS. Z definicji punktem przegięcia krzywej nazywamy punkt przejścia tej krzywej z wypukłości we wklęsłość lub z wklęsłości w wypukłość