Zadanie z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: szczepanik89 » 1 sie 2007, o 14:47

Dla jakich wartosci parametru m zbiorem wartosci funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (m-4)x^{2} - (2-m)x +1 +0,5m}\) jest zbior \(\displaystyle{ Y_{f}= }\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 15:52 przez szczepanik89, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: max » 1 sie 2007, o 14:54

Wykresem musi być parabola (łatwo wykluczyć przypadek \(\displaystyle{ m - 4 = 0}\)) o ramionach 'skierowanych do góry' i współrzędnej \(\displaystyle{ y}\) wierzchołka równej \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\).
Czyli musi być:
\(\displaystyle{ m - 4> 0 \ \wedge \ y_{w} = \frac{5}{4}}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: scyth » 1 sie 2007, o 15:05

znajdujemy punkt przegięcia paraboli (oczywiście m > 4)
\(\displaystyle{ f'(x)=2x(m-4)-(2-m)}\), stąd \(\displaystyle{ x=\frac{(2-m)}{2(m-4)}}\)

musimy znaleźć takie m, żeby spełnione było równanie:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ (2-m)^2=(m-4)}\)
hmm... wychodzi, że nie ma takiego m. Może źle przepisałeś równanie?

Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: szczepanik89 » 1 sie 2007, o 15:11

[ Dodano: 1 Sierpnia 2007, 15:53 ]
sorka w jednym miejscu m nie zauwazylem;/ ale jak to zrobic?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: Sylwek » 1 sie 2007, o 16:33

Najpierw przeczytaj dokładniej instrukcję TeX-a, tam jest pokazane jak ładnie pisać ułamki, znak nieskończoności też jest. Rozwiązanie podał Ci już max. Po pierwsze wiemy, że nasza funkcja kwadratowa jest ograniczona od dołu, czyli ma ramiona skierowane do góry - a>0. Po drugie, posiada wartość minimalną i wynosi ona 1,25 - jest to współrzędna igrekowa naszego wierzchołka. Czyli

\(\displaystyle{ a) \ m-4>0 \\ m>4 \\ b) \ y_{w}=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4(m-4)(1+\frac{1}{2}m)-(2-m)^2}{4(m-4)} \\ y_{w}={2m^2-4m-16-16-(4-4m+m^2)}{4(m-4)}=\frac{m^2-20}{4(m-4)}=\frac{5}{4} \\ \frac{m^2-20}{m-4}=5 \\ m^2-20=5m-20 \\ m^2-5m=0 \\ m(m-5)=0 \\ ((m=0 \ \vee \ m=5) \ \wedge \ m>4) \ \ m \lbrace 5 \rbrace}\)

Odp: Funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru \(\displaystyle{ Y_{f}=\langle \frac{5}{4}, +\infty)}\) dla m=5.


Edit: Ehh sorki, pospieszyłem się trochę, dzięki max za uważne czytanie, teraz już jest dobrze
Ostatnio zmieniony 1 sie 2007, o 18:39 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: max » 1 sie 2007, o 16:38

Sylwek - skorzystałeś z wzoru na odciętą wierzchołka, a nam chodzi o rzędną:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = \frac{-\Delta}{4a}}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: scyth » 1 sie 2007, o 16:49

no to teraz (po poprawieniu równania) wyszło mi m=5 - sposobem jaki zaprezentowałem.
Ekstremum jest to samo, zatem po wstawieniu do równani mamy:
\(\displaystyle{ \frac{(2-m)^2}{4(m-4)}-\frac{(2-m)^2}{2(m-4)}+1+\frac{m}{2}=\frac{5}{4}}\)
co po uproszczeniach daje:
\(\displaystyle{ \frac{m}{2}-\frac{(2-m)^2}{4(m-4)}=\frac{1}{4} \\
2m(m-4)-(m-2)^2=m-4 \\
m^2-5m=0
m(m-5)=0}\)

A więc rozwiązaniem jest m=5

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: max » 1 sie 2007, o 17:00

Warto zauważyć, że do wyznaczenia tego ekstremum nie potrzeba rachunku różniczkowego:
\(\displaystyle{ y_{w} = f(x_{w}) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)}\)
i otrzymujemy taki sam wynik jak w poście powyżej, a to, że:
\(\displaystyle{ x_{w} = -\frac{b}{2a}}\)
wynika z przekształcenia trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ ax^{2} + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a}}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 558
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Zadanie z parametrem

Post autor: JHN » 1 sie 2007, o 21:10

scyth pisze:...znajdujemy punkt przegięcia paraboli..
Według mojej wiedzy parabola nie ma punktów przegięcia!

Pozdrawiam
PS. Z definicji punktem przegięcia krzywej nazywamy punkt przejścia tej krzywej z wypukłości we wklęsłość lub z wklęsłości w wypukłość

ODPOWIEDZ